Google
Câu hỏi: Cho đồ thị $\left( C \right):y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+3$ và đường thẳng $d:y=ax$ với m, a là các tham số và a > 0. Biết rằng A, B là hai điểm cực trị của $\left( C \right)$ và d cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm C, D sao cho $CD=4\sqrt{2}$ và ABCD là hình bình hành. Tính diện tích của ABCD.
A. 12.
B. 16.
C. 9.
D. $4\sqrt{10}$.
Đặt $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+3$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+m,{f}''\left( x \right)=6x-6$
${f}''\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$, $f\left( 1 \right)=m+1$, tức điểm uốn của đồ thị là $I\left( 1;m+1 \right)$
Điều kiện cần để ABCD là hình bình hành là $I\in d$, tức $m+1=a$.
Lúc này, hoành độ của C, D là nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+3=\left( m+1 \right)x$.
Ta có ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+3=\left( m+1 \right)x\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử $C\left( -1;-a \right)$ và $D\left( 3;3a \right)$.
Do $CD=4\sqrt{2},a>0$ nên ta tìm được a = 1. Từ đây được m = 0.
Với m = 0 thì $\left( C \right)$ thực sự có hai điểm cực trị, chúng lần lượt có tọa độ là $\left( 0;3 \right),\left( 2;-1 \right)$.
Không mất tổng quát, ta giả sử $A\left( 0;3 \right)$ và $B\left( 2;-1 \right)$. Lúc này, cùng với $C\left( -1;-1 \right)$ và $D\left( 3;3 \right)$ ta có ACBD thực sự là một hình bình hành và dễ dàng tính được diện tích của nó là 12.
A. 12.
B. 16.
C. 9.
D. $4\sqrt{10}$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+m,{f}''\left( x \right)=6x-6$
${f}''\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$, $f\left( 1 \right)=m+1$, tức điểm uốn của đồ thị là $I\left( 1;m+1 \right)$
Điều kiện cần để ABCD là hình bình hành là $I\in d$, tức $m+1=a$.
Lúc này, hoành độ của C, D là nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+3=\left( m+1 \right)x$.
Ta có ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+3=\left( m+1 \right)x\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử $C\left( -1;-a \right)$ và $D\left( 3;3a \right)$.
Do $CD=4\sqrt{2},a>0$ nên ta tìm được a = 1. Từ đây được m = 0.
Với m = 0 thì $\left( C \right)$ thực sự có hai điểm cực trị, chúng lần lượt có tọa độ là $\left( 0;3 \right),\left( 2;-1 \right)$.
Không mất tổng quát, ta giả sử $A\left( 0;3 \right)$ và $B\left( 2;-1 \right)$. Lúc này, cùng với $C\left( -1;-1 \right)$ và $D\left( 3;3 \right)$ ta có ACBD thực sự là một hình bình hành và dễ dàng tính được diện tích của nó là 12.
Đáp án A.