Google
Câu hỏi: Cho đồ thị $\left( C \right):y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+3$ và đường thẳng $d:y=ax$ với $m, a$ là các tham số và $a>0$. Biết rằng $A,$ $B$ là hai điểm Cực trị của $\left( C \right)$ và $d$ Cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm $C,$ $D$ sao Cho $CD=4\sqrt{2}$ và $ACBD$ là hình bình hành. Tính diện tích Của $ACBD$.
A. $12$.
B. $16$.
C. $9$.
D. $4\sqrt{10}$.
Đặt $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+3$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+m$, $f''\left( x \right)=6x-6$.
${f}''\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$, $f\left( 1 \right)=m+1$, tức điểm uốn Của đồ thị là $I\left( 1;m+1 \right)$.
Điều kiện Cần để $ACBD$ là hình bình hành là $I\in d$, tức $m+1=a$.
Lúc này, hoành độ Của $C, D$ là nghiệm Của phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+3=\left( m+1 \right)x$.
Ta có ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+3=\left( m+1 \right)x\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử $C\left( -1;-a \right)$ và $D\left( 3;3a \right)$.
Do $CD=4\sqrt{2}, a>0$ nên ta tìm đượC $a=1$. Từ đây đượC $m=0$.
Với $m=0$ thì $\left( C \right)$ thực sự có hai điểm Cực trị, Chúng lần lượt có tọa độ là $\left( 0;3 \right), \left( 2;-1 \right)$.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử $A\left( 0;3 \right)$ và $B\left( 2;-1 \right)$. Lúc này, cùng với $C\left( -1;-1 \right)$ và $D\left( 3;3 \right)$ Ta có $ACBD$ thựC sự là một hình hành và dễ dàng tính được diện tích Của nó là 12.
A. $12$.
B. $16$.
C. $9$.
D. $4\sqrt{10}$.
Đặt $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+3$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+m$, $f''\left( x \right)=6x-6$.
${f}''\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$, $f\left( 1 \right)=m+1$, tức điểm uốn Của đồ thị là $I\left( 1;m+1 \right)$.
Điều kiện Cần để $ACBD$ là hình bình hành là $I\in d$, tức $m+1=a$.
Lúc này, hoành độ Của $C, D$ là nghiệm Của phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+3=\left( m+1 \right)x$.
Ta có ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+3=\left( m+1 \right)x\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử $C\left( -1;-a \right)$ và $D\left( 3;3a \right)$.
Do $CD=4\sqrt{2}, a>0$ nên ta tìm đượC $a=1$. Từ đây đượC $m=0$.
Với $m=0$ thì $\left( C \right)$ thực sự có hai điểm Cực trị, Chúng lần lượt có tọa độ là $\left( 0;3 \right), \left( 2;-1 \right)$.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử $A\left( 0;3 \right)$ và $B\left( 2;-1 \right)$. Lúc này, cùng với $C\left( -1;-1 \right)$ và $D\left( 3;3 \right)$ Ta có $ACBD$ thựC sự là một hình hành và dễ dàng tính được diện tích Của nó là 12.
Đáp án A.