. Cho đồ thị $\left(C\right):y=x^3-3x^2.$ Có bao...

Phương trình tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại $M(x_0;x_0^3-3{\text{x}}_0^2)$ có dạng: $y=(3{\text{x}}_0^2-6{\text{x}}_0)(x-x_0)+x_0^3-3{\text{x}}_0^2$
Do tiếp tuyến đi qua điểm $(0;b)\Rightarrow b=(3{\text{x}}_0^2-6{\text{x}}_0)(-x_0)+x_0^3-3{\text{x}}_0^2=-2{\text{x}}_0^3+3{\text{x}}_0^2$
Để có đúng một tiếp tuyến của $\left(C\right)$ đi qua $B(0;b)$ thì phương trình $b=-2{\text{x}}_0^3+3{\text{x}}_0^2$ có duy nhất một nghiệm. Xét hàm số $y=-2{\text{x}}^3+3{\text{x}}^2\Rightarrow y^{\prime }=-6{\text{x}}^2+6\text{x}=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\Rightarrow y=0\\ & x=1\Rightarrow y=1\end{array}$.
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm khi $[\begin{array}{rl}& b>1\\ & b<0\end{array}$.
Với $b\in (-10;10)$ có 17 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.