Google
Câu hỏi: . Cho đồ thị $\left( C \right):y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}.$ Có bao nhiêu số nguyên $b\in \left( -10;10 \right)$ để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm $B\left( 0;b \right)?$
A. 15.
B. 9.
C. 16.
D. 17.
A. 15.
B. 9.
C. 16.
D. 17.
Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M\left( {{x}_{0}};x_{0}^{3}-3\text{x}_{0}^{2} \right)$ có dạng: $y=\left( 3\text{x}_{0}^{2}-6{{\text{x}}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3\text{x}_{0}^{2}$
Do tiếp tuyến đi qua điểm $\left( 0;b \right)\Rightarrow b=\left( 3\text{x}_{0}^{2}-6{{\text{x}}_{0}} \right)\left( -{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3\text{x}_{0}^{2}=-2\text{x}_{0}^{3}+3\text{x}_{0}^{2}$
Để có đúng một tiếp tuyến của $\left( C \right)$ đi qua $B\left( 0;b \right)$ thì phương trình $b=-2\text{x}_{0}^{3}+3\text{x}_{0}^{2}$ có duy nhất một nghiệm. Xét hàm số $y=-2{{\text{x}}^{3}}+3{{\text{x}}^{2}}\Rightarrow {y}'=-6{{\text{x}}^{2}}+6\text{x}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow y=0 \\
& x=1\Rightarrow y=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm khi $\left[ \begin{aligned}
& b>1 \\
& b<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $b\in \left( -10;10 \right)$ có 17 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do tiếp tuyến đi qua điểm $\left( 0;b \right)\Rightarrow b=\left( 3\text{x}_{0}^{2}-6{{\text{x}}_{0}} \right)\left( -{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3\text{x}_{0}^{2}=-2\text{x}_{0}^{3}+3\text{x}_{0}^{2}$
Để có đúng một tiếp tuyến của $\left( C \right)$ đi qua $B\left( 0;b \right)$ thì phương trình $b=-2\text{x}_{0}^{3}+3\text{x}_{0}^{2}$ có duy nhất một nghiệm. Xét hàm số $y=-2{{\text{x}}^{3}}+3{{\text{x}}^{2}}\Rightarrow {y}'=-6{{\text{x}}^{2}}+6\text{x}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow y=0 \\
& x=1\Rightarrow y=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm khi $\left[ \begin{aligned}
& b>1 \\
& b<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $b\in \left( -10;10 \right)$ có 17 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.