Google
Câu hỏi: Cho đồ thị $\left( C \right):y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$. Có bao nhiêu số nguyên $b\in \left( -10;10 \right)$ để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm $B\left( 0;b \right)$ ?
A. 2.
B. 9.
C. 17.
D. 16.
A. 2.
B. 9.
C. 17.
D. 16.
Gọi ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};x_{0}^{3}-3x_{0}^{2} \right)$ là tiếp điểm.
Tiếp tuyến $\Delta $ của (C) tại ${{M}_{0}}$ có dạng $y=\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}$.
$\Delta $ qua $B\left( 0;b \right)\Leftrightarrow b=\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( 0-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}\Leftrightarrow -b=2x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}\left( * \right)$
Có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm $B\left( 0;b \right)\Leftrightarrow $ (*) có đúng 1 nghiệm ${{x}_{0}}$. Đặt
$g\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}};{g}'\left( x \right)=6{{x}^{2}}-6x;{g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên của hàm $g\left( x \right)$
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình (*) có đúng 1 nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -b>0 \\
& -b<-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b<0 \\
& b>1 \\
\end{aligned} \right.$
Vì b nguyên và $b\in \left( -10;10 \right)$, suy ra $b\in \left\{ -9;-8;...;-1;2;3;...;9 \right\}$, có 17 giá trị của b.
Note 41: Phương pháp chung
Bước 1: Gọi $M\left( a,f\left( a \right) \right)$ là tiếp điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại M.
Bước 2: Thế tọa độ điểm tiếp tuyến đi qua và biện luận số nghiệm.
Tiếp tuyến $\Delta $ của (C) tại ${{M}_{0}}$ có dạng $y=\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}$.
$\Delta $ qua $B\left( 0;b \right)\Leftrightarrow b=\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( 0-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}\Leftrightarrow -b=2x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}\left( * \right)$
Có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm $B\left( 0;b \right)\Leftrightarrow $ (*) có đúng 1 nghiệm ${{x}_{0}}$. Đặt
$g\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}};{g}'\left( x \right)=6{{x}^{2}}-6x;{g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên của hàm $g\left( x \right)$
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình (*) có đúng 1 nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -b>0 \\
& -b<-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b<0 \\
& b>1 \\
\end{aligned} \right.$
Vì b nguyên và $b\in \left( -10;10 \right)$, suy ra $b\in \left\{ -9;-8;...;-1;2;3;...;9 \right\}$, có 17 giá trị của b.
Note 41: Phương pháp chung
Bước 1: Gọi $M\left( a,f\left( a \right) \right)$ là tiếp điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại M.
Bước 2: Thế tọa độ điểm tiếp tuyến đi qua và biện luận số nghiệm.
Đáp án C.