Cho đồ thị $(C) : y = f (x) = \sqrt{x}$ . Gọi...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho đồ thị

(C) : y = f (x) = \sqrt{x}

. Gọi

(H)

là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

(C)

, đường thẳng

x = 9

và trục Ox. Cho điểm M thuộc đồ thị

(C)

và điểm

A (9; 0)

. Gọi

V_{1}

là thể tích khối tròn xoay khi cho

(H)

quay quanh trục Ox,

V_{2}

là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác AOM quay quanh trục Ox. Biết rằng

V_{1} = 2 V_{2}

. Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

(C)

và đường thẳng OM.

A.

S = 3

B.

S = \frac{27 \sqrt{3}}{16}

C.

S = \frac{3 \sqrt{3}}{2}

D.

S = \frac{4}{3}

Ta có

V_{1} = π \int_{0}^{9} {(\sqrt{x})}^{2} d x = \frac{81 π}{2}

.
Gọi H là hình chiếu của M lên trục Ox, đặt

O H = m

(với

0 < m \leq 9

), ta có

M (m; \sqrt{m})

,

M H = \sqrt{m}

và

A H = 9 - m

.
Suy ra

V_{2} = \frac{1}{3} π . M H^{2} . O H + \frac{1}{3} π . M H^{2} . A H = \frac{1}{3} π . M H^{2} . O A = 3 m π

.
Theo giả thiết, ta có

V_{1} = 2 V_{2}

nên

\frac{81 π}{2} = 6 m π \Leftrightarrow m = \frac{27}{4}

. Do đó

M (\frac{27}{4}; \frac{3 \sqrt{3}}{2})

.
Từ đó ta có phương trình đường thẳng OM là

y = \frac{2 \sqrt{3}}{9} x

.
Diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

(C)

và đường thẳng OM là

S = \int_{0}^{\frac{27}{4}} (\sqrt{x} - \frac{2 \sqrt{3}}{9} x) d x = {(\frac{2}{3} x \sqrt{x} - \frac{\sqrt{3}}{9} x^{2}) |}_{0}^{\frac{27}{4}} = \frac{27 \sqrt{3}}{16}

.

Đáp án B.

Cho đồ thị (C):y=f(x)=x. Gọi...