Google
Câu hỏi: Cho đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)=\sqrt{x}$. Gọi $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$, đường thẳng $x=9$ và trục Ox. Cho điểm M thuộc đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $A\left( 9;0 \right)$. Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích khối tròn xoay khi cho $\left( H \right)$ quay quanh trục Ox, ${{V}_{2}}$ là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác AOM quay quanh trục Ox. Biết rằng ${{V}_{1}}=2{{V}_{2}}$. Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng OM.
A. $S=3$
B. $S=\dfrac{27\sqrt{3}}{16}$
C. $S=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
D. $S=\dfrac{4}{3}$
A. $S=3$
B. $S=\dfrac{27\sqrt{3}}{16}$
C. $S=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
D. $S=\dfrac{4}{3}$
Ta có ${{V}_{1}}=\pi \int\limits_{0}^{9}{{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}d\text{x}}=\dfrac{81\pi }{2}$.
Gọi H là hình chiếu của M lên trục Ox, đặt $OH=m$ (với $0<m\le 9$ ), ta có $M\left( m;\sqrt{m} \right)$, $MH=\sqrt{m}$ và $AH=9-m$.
Suy ra ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi .M{{H}^{2}}.OH+\dfrac{1}{3}\pi .M{{H}^{2}}.AH=\dfrac{1}{3}\pi .M{{H}^{2}}.OA=3m\pi $.
Theo giả thiết, ta có ${{V}_{1}}=2{{V}_{2}}$ nên $\dfrac{81\pi }{2}=6m\pi \Leftrightarrow m=\dfrac{27}{4}$. Do đó $M\left( \dfrac{27}{4};\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right)$.
Từ đó ta có phương trình đường thẳng OM là $y=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}x$.
Diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng OM là
$S=\int\limits_{0}^{\dfrac{27}{4}}{\left( \sqrt{x}-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}x \right)d\text{x}}=\left. \left( \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}-\dfrac{\sqrt{3}}{9}{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{\dfrac{27}{4}}=\dfrac{27\sqrt{3}}{16}$.
Gọi H là hình chiếu của M lên trục Ox, đặt $OH=m$ (với $0<m\le 9$ ), ta có $M\left( m;\sqrt{m} \right)$, $MH=\sqrt{m}$ và $AH=9-m$.
Suy ra ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi .M{{H}^{2}}.OH+\dfrac{1}{3}\pi .M{{H}^{2}}.AH=\dfrac{1}{3}\pi .M{{H}^{2}}.OA=3m\pi $.
Theo giả thiết, ta có ${{V}_{1}}=2{{V}_{2}}$ nên $\dfrac{81\pi }{2}=6m\pi \Leftrightarrow m=\dfrac{27}{4}$. Do đó $M\left( \dfrac{27}{4};\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right)$.
Từ đó ta có phương trình đường thẳng OM là $y=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}x$.
Diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng OM là
$S=\int\limits_{0}^{\dfrac{27}{4}}{\left( \sqrt{x}-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}x \right)d\text{x}}=\left. \left( \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}-\dfrac{\sqrt{3}}{9}{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{\dfrac{27}{4}}=\dfrac{27\sqrt{3}}{16}$.
Đáp án B.