Google
Câu hỏi: Cho đồ thị $\left( C \right):y=\dfrac{x-1}{2x}$ và ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}$ là hai tiếp tuyến của $\left( C \right)$ song song với nhau. Khoảng cách lớn nhất giữa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là
A. 3
B. $2\sqrt{3}$
C. 2
D. $2\sqrt{2}$
A. 3
B. $2\sqrt{3}$
C. 2
D. $2\sqrt{2}$
Gọi $A\left( a; \dfrac{a-1}{2\text{a}} \right); B\left( b; \dfrac{b-1}{2b} \right)$ với $a\ne b$
Ta có $y=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2x}\Rightarrow {y}'=\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}$
Theo bài ra, ta có ${y}'\left( a \right)={y}'\left( b \right)\Leftrightarrow \dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{b}^{2}}}\Leftrightarrow a+b=0$
Suy ra A, B đối xứng nhau qua tâm đối xứng $I\left( 0; \dfrac{1}{2} \right)$
Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại A là d: $y=\dfrac{x-a}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{a-1}{2a}$
Khoảng cách giữa 2 tiếp tuyến là $d=2.d\left[ I; \left( d \right) \right]=\dfrac{2}{\left| a \right|}:\sqrt{\dfrac{1}{4{{a}^{4}}}+1}$
Theo bất đẳng thức $AM-GM$, ta được $\dfrac{1}{4{{a}^{4}}}+1\ge \dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{1}{4{{a}^{4}}}+1}\ge \dfrac{1}{\left| a \right|}$
Do đó $d\le \dfrac{2}{\left| a \right|}:\dfrac{1}{\left| a \right|}=2$. Vậy khoảng cách lớn nhất giữa tiếp tuyến là 2
Ta có $y=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2x}\Rightarrow {y}'=\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}$
Theo bài ra, ta có ${y}'\left( a \right)={y}'\left( b \right)\Leftrightarrow \dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{b}^{2}}}\Leftrightarrow a+b=0$
Suy ra A, B đối xứng nhau qua tâm đối xứng $I\left( 0; \dfrac{1}{2} \right)$
Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại A là d: $y=\dfrac{x-a}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{a-1}{2a}$
Khoảng cách giữa 2 tiếp tuyến là $d=2.d\left[ I; \left( d \right) \right]=\dfrac{2}{\left| a \right|}:\sqrt{\dfrac{1}{4{{a}^{4}}}+1}$
Theo bất đẳng thức $AM-GM$, ta được $\dfrac{1}{4{{a}^{4}}}+1\ge \dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{1}{4{{a}^{4}}}+1}\ge \dfrac{1}{\left| a \right|}$
Do đó $d\le \dfrac{2}{\left| a \right|}:\dfrac{1}{\left| a \right|}=2$. Vậy khoảng cách lớn nhất giữa tiếp tuyến là 2
Đáp án C.