Google
Câu hỏi: Cho đồ thị $\left( C \right):y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ và Parabol $\left( P \right):y=m{{x}^{2}}+nx+p$ có đồ thị như hình vẽ (đồ thị (C) là đường cong đậm hơn). Biết phần hình phẳng được giới hạn bởi (C) và $\left( P \right)$ (phần tô đậm) có diện tích bằng 1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay phần hình phẳng đó quanh trục hoành bằng
A. $3\pi .$
B. $\dfrac{237}{35}\pi .$
C. $5\pi .$
D. $\dfrac{159}{35}\pi .$
B. $\dfrac{237}{35}\pi .$
C. $5\pi .$
D. $\dfrac{159}{35}\pi .$
Đồ thị (P) đi qua các điểm $\left( 1;2 \right);\left( 3;1 \right)$ và $\left( 5;3 \right)$ nên Parabol có phương trình là $y=\dfrac{3}{8}{{x}^{2}}-2x+\dfrac{29}{8}.$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và (P) là
$a\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)\left( x-5 \right)=0\Leftrightarrow a\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+23x-15 \right)=0 \left( ** \right).$
Theo giả thiết ta có diện tích phần tô đậm bằng 1 suy ra
$S=\int\limits_{1}^{3}{a\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+23x-15 \right)dx}+\int\limits_{5}^{3}{a\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+23x-15 \right)dx}=1\Rightarrow a=\dfrac{1}{8}.$
Với $a=\dfrac{1}{8}$ ta có $\dfrac{1}{8}\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+23x-15 \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{8}{{x}^{3}}-\dfrac{9}{8}{{x}^{2}}+\dfrac{23}{8}x-\dfrac{15}{8}=0 (1).$
Từ (1) và (*) ta có $\left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{8} \\
& b-\dfrac{3}{8}=-\dfrac{9}{8} \\
& c+2=\dfrac{23}{8} \\
& d-\dfrac{29}{8}=-\dfrac{15}{8} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{8} \\
& b=-\dfrac{3}{4} \\
& c=\dfrac{7}{8} \\
& d=\dfrac{7}{4} \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra (C) có phương trình là $y=\dfrac{1}{8}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{7}{8}x+\dfrac{7}{4}.$
Vậy thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay phần hình phẳng đó quanh trục hoành là
$V=\pi {{\int\limits_{1}^{3}{\left( \dfrac{1}{8}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{7}{8}x+\dfrac{7}{4} \right)}}^{2}}dx-\pi \int\limits_{1}^{3}{{{\left( \dfrac{3}{8}{{x}^{2}}-2x+\dfrac{29}{8} \right)}^{2}}dx}$ $+\pi \int\limits_{3}^{5}{{{\left( \dfrac{3}{8}{{x}^{2}}-2x+\dfrac{29}{8} \right)}^{2}}dx}-\pi {{\int\limits_{3}^{5}{\left( \dfrac{1}{8}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{7}{8}x+\dfrac{7}{4} \right)}}^{2}}dx$
= $\dfrac{395\pi }{84}-\dfrac{199\pi }{60}+\dfrac{409\pi }{60}-\dfrac{437\pi }{84}=3\pi .$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và (P) là
$a{{x}^{3}}+\left( b-m \right){{x}^{2}}+\left( c-n \right)x+d-p=0\left( * \right).$
Dựa vào hình vẽ ta có đồ thị (C) cắt đồ thị (P) tại các điểm có hoành độ 1;3;5 nên phương trình hoành độ cũng có dạng là$a\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)\left( x-5 \right)=0\Leftrightarrow a\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+23x-15 \right)=0 \left( ** \right).$
Theo giả thiết ta có diện tích phần tô đậm bằng 1 suy ra
$S=\int\limits_{1}^{3}{a\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+23x-15 \right)dx}+\int\limits_{5}^{3}{a\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+23x-15 \right)dx}=1\Rightarrow a=\dfrac{1}{8}.$
Với $a=\dfrac{1}{8}$ ta có $\dfrac{1}{8}\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+23x-15 \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{8}{{x}^{3}}-\dfrac{9}{8}{{x}^{2}}+\dfrac{23}{8}x-\dfrac{15}{8}=0 (1).$
Từ (1) và (*) ta có $\left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{8} \\
& b-\dfrac{3}{8}=-\dfrac{9}{8} \\
& c+2=\dfrac{23}{8} \\
& d-\dfrac{29}{8}=-\dfrac{15}{8} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{8} \\
& b=-\dfrac{3}{4} \\
& c=\dfrac{7}{8} \\
& d=\dfrac{7}{4} \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra (C) có phương trình là $y=\dfrac{1}{8}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{7}{8}x+\dfrac{7}{4}.$
Vậy thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay phần hình phẳng đó quanh trục hoành là
$V=\pi {{\int\limits_{1}^{3}{\left( \dfrac{1}{8}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{7}{8}x+\dfrac{7}{4} \right)}}^{2}}dx-\pi \int\limits_{1}^{3}{{{\left( \dfrac{3}{8}{{x}^{2}}-2x+\dfrac{29}{8} \right)}^{2}}dx}$ $+\pi \int\limits_{3}^{5}{{{\left( \dfrac{3}{8}{{x}^{2}}-2x+\dfrac{29}{8} \right)}^{2}}dx}-\pi {{\int\limits_{3}^{5}{\left( \dfrac{1}{8}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{7}{8}x+\dfrac{7}{4} \right)}}^{2}}dx$
= $\dfrac{395\pi }{84}-\dfrac{199\pi }{60}+\dfrac{409\pi }{60}-\dfrac{437\pi }{84}=3\pi .$
Đáp án A.