Cho đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số đa thức bậc ba và parabol...

$\left( P \right): f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ có đỉnh $I\left( -1;0 \right)$ và có $f(-1)=0 ; f\left( 1 \right)=2$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -\dfrac{b}{2a}=-1 \\
& a-b+c=0 \\
& a+b+c=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2} \\
& b=1 \\
& c=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\left( P \right): f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+x+\dfrac{1}{2}$.
$\left( C \right):g\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ $\Rightarrow {g}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& g'\left( -2 \right)=0 \\
& g'\left( 0 \right)=0 \\
& g\left( 0 \right)=-2 \\
& g\left( 1 \right)=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 12a-4b+c=0 \\
& c=0 \\
& d=-2 \\
& a+b+c+d=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=3 \\
& c=0 \\
& d=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\left( C \right):g\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0$
Phương trình hoành độ giao điểm
${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+x+\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}+\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-x-\dfrac{5}{2}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-5}{2};x=-1;x=1$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$ và $\left( P \right)$ là:
$S=\int\limits_{-\dfrac{5}{2}}^{1}{\left| \left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2 \right)-\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+x+\dfrac{1}{2} \right) \right|}dx$
$=\int\limits_{-\dfrac{5}{2}}^{1}{\left| {{x}^{3}}+\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-x-\dfrac{5}{2} \right|}dx$ $=\int\limits_{-\dfrac{5}{2}}^{-1}{\left| {{x}^{3}}+\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-x-\dfrac{5}{2} \right|}dx+\int\limits_{-1}^{1}{\left| {{x}^{3}}+\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-x-\dfrac{5}{2} \right|}dx$
$=\int\limits_{-\dfrac{5}{2}}^{-1}{\left( {{x}^{3}}+\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-x-\dfrac{5}{2} \right)}dx+\int\limits_{-1}^{1}{\left( -{{x}^{3}}-\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}+x+\dfrac{5}{2} \right)}dx$
$=\dfrac{99}{64}+\dfrac{10}{3}=\dfrac{937}{192}$.