Google
Câu hỏi: Cho đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi phương trình $\dfrac{f\left[ f\left( x \right) \right]}{2{{f}^{2}}\left( x \right)-5f\left( x \right)+4}$ có bao nhiêu nghiệm thực:
A. 4
B. 6
C. 7
D. 5
A. 4
B. 6
C. 7
D. 5
Với $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4$ ta có $\dfrac{f\left[ f\left( x \right) \right]}{3{{f}^{2}}\left( x \right)-5f\left( x \right)+4}=1\Leftrightarrow \dfrac{f\left( y \right)}{3{{y}^{2}}-5y+4}=1$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{y}^{3}}-3{{y}^{2}}+4}{3{{y}^{2}}-5y+4}\left( 3{{y}^{2}}-5y+4>0\forall y\in \mathbb{R} \right)$
$\Leftrightarrow {{y}^{3}}-3{{y}^{2}}+4=3{{y}^{2}}-5y+4\Leftrightarrow {{y}^{3}}-6y+5y=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=0 \\
& y=1 \\
& y=5 \\
\end{aligned} \right.$
Với $y=0\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=0$ có 2 nghiệm thực (sử dụng máy tính)
Với $y=1\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=1$ có 3 nghiệm thực (sử dụng máy tính)
Với $y=5\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=5$ có 1 nghiệm thực (sử dụng máy tính)
Vậy PT đã cho có 6 nghiệm thực
$\Leftrightarrow \dfrac{{{y}^{3}}-3{{y}^{2}}+4}{3{{y}^{2}}-5y+4}\left( 3{{y}^{2}}-5y+4>0\forall y\in \mathbb{R} \right)$
$\Leftrightarrow {{y}^{3}}-3{{y}^{2}}+4=3{{y}^{2}}-5y+4\Leftrightarrow {{y}^{3}}-6y+5y=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=0 \\
& y=1 \\
& y=5 \\
\end{aligned} \right.$
Với $y=0\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=0$ có 2 nghiệm thực (sử dụng máy tính)
Với $y=1\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=1$ có 3 nghiệm thực (sử dụng máy tính)
Với $y=5\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=5$ có 1 nghiệm thực (sử dụng máy tính)
Vậy PT đã cho có 6 nghiệm thực
Đáp án B.