Cho đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$...

Gọi phương trình của Parabol là $y=a{{x}^{2}}+bx+c$, từ dữ kiện đề bài ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& c=0 \\
& 4a+2b+c=0 \\
& \dfrac{4ac-{{b}^{2}}}{4a}=-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2} \\
& b=-1 \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-x.$
Giả sử $g\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ thì đồ thị của nó đi qua $I\left( 1;-\dfrac{1}{2} \right)$ và có 2 cực trị có hoành độ bằng $0$ và $2$, tức là phương trình ${g}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c=0$ có 2 nghiệm là $0$ và $2$.
Kết hợp với giả thiết ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& a+b+c+d=-\dfrac{1}{2} \\
& c=0 \\
& 12a+4b+c=0 \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}.{{x}_{3}}=-\dfrac{d}{a}=-6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{8} \\
& b=\dfrac{3}{8} \\
& c=0 \\
& d=-\dfrac{3}{4} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g\left( x \right)=-\dfrac{1}{8}{{x}^{3}}+\dfrac{3}{8}{{x}^{2}}-\dfrac{3}{4}.$
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình
$\begin{aligned}
& \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-x=-\dfrac{1}{8}{{x}^{3}}+\dfrac{3}{8}{{x}^{2}}-\dfrac{3}{4} \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=-1-\sqrt{7} \\
& {{x}_{2}}=1 \\
& {{x}_{3}}=-1+\sqrt{7} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ bằng
$\begin{aligned}
& S=\int\limits_{-1-\sqrt{7}}^{1}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\text{d}x}+\int\limits_{1}^{-1+\sqrt{7}}{\left[ g\left( x \right)-f\left( x \right) \right]\text{d}x} \\
& =\int\limits_{-1-\sqrt{7}}^{1}{\left[ \dfrac{{{x}^{3}}}{8}+\dfrac{{{x}^{2}}}{8}-x+\dfrac{3}{4} \right]\text{d}x}+\int\limits_{1}^{-1+\sqrt{7}}{\left[ -\dfrac{{{x}^{3}}}{8}-\dfrac{{{x}^{2}}}{8}+x-\dfrac{3}{4} \right]\text{d}x} \\
& \approx 6,22. \\
\end{aligned}$