Cho đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình bên...

Số điểm cực trị của hàm số $y=|f(x+100)+m^2|$ bằng tổng số điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)$ và số giao điểm giữa đồ thị $y=f\left(x\right)+m^2$ với trục $Ox$.
Vì hàm số $y=f\left(x\right)$ có 3 cực trị nên để hàm số $y=|f(x+100)+m^2|$ có 5 cực trị thì số giao điểm giữa đồ thị $y=f\left(x\right)+m^2$ với trục $Ox$ sẽ bằng 2 hoặc bằng 3 nếu điểm cực tiểu $y=-2$ của đồ thị hàm số thuộc trục hoành.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là $f\left(x\right)+m^2=0\iff f\left(x\right)=-m^2$
Dựa vào đồ thị, ta có:
$-6<-m^2\le -2\iff 2\le m^2<6\iff \{\begin{array}{rl}& m^2\ge 2\\ & m^2<6\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& [\begin{array}{rl}& m\le -\sqrt{2}\\ & m\ge \sqrt{2}\end{array}\\ & -\sqrt{6}<m<\sqrt{6}\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& -\sqrt{6}<m\le -\sqrt{2}\\ & \sqrt{2}\le m<\sqrt{6}\end{array}$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2;2\}$. Vậy có 2 giá trị nguyên $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.