Cho đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên...

Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x+100 \right)+{{m}^{2}} \right|$ bằng tổng số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)$ và số giao điểm giữa đồ thị $y=f\left( x \right)+{{m}^{2}}$ với trục $Ox$.
Vì hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 cực trị nên để hàm số $y=\left| f\left( x+100 \right)+{{m}^{2}} \right|$ có 5 cực trị thì số giao điểm giữa đồ thị $y=f\left( x \right)+{{m}^{2}}$ với trục $Ox$ sẽ bằng 2 hoặc bằng 3 nếu điểm cực tiểu $y=-2$ của đồ thị hàm số thuộc trục hoành.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là $f\left( x \right)+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=-{{m}^{2}}$
Dựa vào đồ thị, ta có:
$-6<-{{m}^{2}}\le -2\Leftrightarrow 2\le {{m}^{2}}<6\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}\ge 2 \\
& {{m}^{2}}<6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m\le -\sqrt{2} \\
& m\ge \sqrt{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& -\sqrt{6}<m<\sqrt{6} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -\sqrt{6}<m\le -\sqrt{2} \\
& \sqrt{2}\le m<\sqrt{6} \\
\end{aligned} \right.$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -2;2 \right\}$. Vậy có 2 giá trị nguyên $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.