Google
Câu hỏi: Cho đồ thị hàm số $y={{e}^{-{{x}^{2}}}}$ như hình vẽ, ABCD là hình chữ nhật thay đổi sao cho B,C luôn thuộc đồ thị hàm số đã cho và A,D nằm trên trục hoành. Giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật ABCD thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( \dfrac{3}{4};1 \right).$
B. $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right).$
C. $\left( 1;\dfrac{3}{2} \right).$
D. $\left( \dfrac{3}{2};2 \right).$
B. $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right).$
C. $\left( 1;\dfrac{3}{2} \right).$
D. $\left( \dfrac{3}{2};2 \right).$
Theo hình vẽ, gọi $D\left( t;0 \right),A\left( -t;0 \right)$ và $C\left( t;{{e}^{-{{t}^{2}}}} \right),B\left( -t;{{e}^{-{{t}^{2}}}} \right)$ với $t>0.$
Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left( 0;{{e}^{-{{t}^{2}}}} \right)\Rightarrow AB={{e}^{-{{t}^{2}}}}$ và $BC=2t\to {{S}_{ABCD}}=AB.BC=2t.{{e}^{-{{t}^{2}}}}.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{t}{{{e}^{{{t}^{2}}}}}$ trên $\left( 0;+\infty \right),$ có ${f}'\left( t \right)=\left( 1-2{{t}^{2}} \right){{e}^{-{{t}^{2}}}}.$
Phương trình ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
t>0 \\
1-2{{t}^{2}}=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
t>0 \\
{{t}^{2}}=\dfrac{1}{2} \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow t=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( t \right)$ là $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=f\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2e}}.$ Chọn A
Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left( 0;{{e}^{-{{t}^{2}}}} \right)\Rightarrow AB={{e}^{-{{t}^{2}}}}$ và $BC=2t\to {{S}_{ABCD}}=AB.BC=2t.{{e}^{-{{t}^{2}}}}.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{t}{{{e}^{{{t}^{2}}}}}$ trên $\left( 0;+\infty \right),$ có ${f}'\left( t \right)=\left( 1-2{{t}^{2}} \right){{e}^{-{{t}^{2}}}}.$
Phương trình ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
t>0 \\
1-2{{t}^{2}}=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
t>0 \\
{{t}^{2}}=\dfrac{1}{2} \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow t=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( t \right)$ là $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=f\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2e}}.$ Chọn A
Đáp án A.