Google
Câu hỏi: Cho đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-1$ có ba điểm cực trị là A, B, C. Biết M, N là hai điểm di động lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho diện tích tam giác ABC gấp ba lần diện tích tam giác AMN. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN là
A. $2\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
C. 4.
D. 2.
A. $2\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
C. 4.
D. 2.
Lời giải:
HD: Ta có: $y'=\dfrac{4}{3}{{x}^{3}}-4x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
Tọa độ 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A(0;-1),B(-\sqrt{3};-4),C(\sqrt{3};-4)$
Ta có: $AB=AC=2\sqrt{3},BC=2\sqrt{3}\Rightarrow \Delta ABC$ đều.
Mặt khác $\dfrac{{{S}_{AMN}}}{{{S}_{ABC}}}=\dfrac{AM.AN.\sin \widehat{A}}{AB.AC.\sin \widehat{A}}=60{}^\circ .=\dfrac{1}{3}\Rightarrow AM.AN=4,MN=\sqrt{A{{M}^{2}}+A{{N}^{2}}-2AM.AN.cos{{60}^{o}}}$
$\Rightarrow MN=\sqrt{A{{M}^{2}}+A{{N}^{2}}-AM.AN}\ge \sqrt{2.AM.AN-AM.AN}=\sqrt{AM.AN}=2\Rightarrow M{{N}_{\min }}=2$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow AM=AN=2$.
HD: Ta có: $y'=\dfrac{4}{3}{{x}^{3}}-4x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
Tọa độ 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A(0;-1),B(-\sqrt{3};-4),C(\sqrt{3};-4)$
Ta có: $AB=AC=2\sqrt{3},BC=2\sqrt{3}\Rightarrow \Delta ABC$ đều.
Mặt khác $\dfrac{{{S}_{AMN}}}{{{S}_{ABC}}}=\dfrac{AM.AN.\sin \widehat{A}}{AB.AC.\sin \widehat{A}}=60{}^\circ .=\dfrac{1}{3}\Rightarrow AM.AN=4,MN=\sqrt{A{{M}^{2}}+A{{N}^{2}}-2AM.AN.cos{{60}^{o}}}$
$\Rightarrow MN=\sqrt{A{{M}^{2}}+A{{N}^{2}}-AM.AN}\ge \sqrt{2.AM.AN-AM.AN}=\sqrt{AM.AN}=2\Rightarrow M{{N}_{\min }}=2$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow AM=AN=2$.
Đáp án D.