Google
Câu hỏi: Cho đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-1$ có 3 điểm cực trị là A, B, C. Biết M, N là hai điểm di động lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho diện tích tam giác ABC gấp 3 lần diện tích tam giác AMN. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN là
A. $2\sqrt{3}.$
B. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
C. $4.$
D. 2.
A. $2\sqrt{3}.$
B. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
C. $4.$
D. 2.
Dễ thấy ABC là tam giác đều, nên có thể giả sử tọa độ ba điểm cực trị của hàm số đã cho là $A\left( 0;-1 \right),B\left( -\sqrt{3};-4 \right),C\left( \sqrt{3};-4 \right).$
Đặt $AM=x,AN=y\left( x,y>0 \right).$
Từ giả thiết suy ra $\dfrac{1}{2}xy\sin 60{}^\circ =\dfrac{1}{3}\dfrac{{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow xy=4.$
Lại có $M{{N}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy\cos 60{}^\circ \ge 2xy-4=4.$
GTNN của độ dài đoạn thẳng MN là 2.
Đặt $AM=x,AN=y\left( x,y>0 \right).$
Từ giả thiết suy ra $\dfrac{1}{2}xy\sin 60{}^\circ =\dfrac{1}{3}\dfrac{{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow xy=4.$
Lại có $M{{N}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy\cos 60{}^\circ \ge 2xy-4=4.$
GTNN của độ dài đoạn thẳng MN là 2.
| Công thức tính diện tích tam giác thông thường khác: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}AB.AC.\sin A.$ |
Đáp án D.