Google
Câu hỏi: Cho đồ thị (C): $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$. Có bao nhiêu số nguyên $b\in \left( -10;10 \right)$ để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm $B\left( 0;b \right)$ ?
A. 15
B. 9
C. 16
D. 17
A. 15
B. 9
C. 16
D. 17
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $M\left( {{x}_{0}};x_{0}^{3}-3x_{0}^{2} \right)$ có dạng:
$y=\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}$
Do tiếp tuyến đi qua điểm $\left( 0;b \right)\Rightarrow b=\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( -{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}=-2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}$
Để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua $B\left( 0;b \right)$ thì phương trình
$b=-2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}$ có duy nhất một nghiệm. Xét hàm số
$y=-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}\Rightarrow y'=-6{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow y=0 \\
& x=1\Rightarrow y=1 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm khi $\left[ \begin{aligned}
& b>1 \\
& b<0 \\
\end{aligned} \right.$
Với $b\in \left( -10;10 \right)$ có 17 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$y=\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}$
Do tiếp tuyến đi qua điểm $\left( 0;b \right)\Rightarrow b=\left( 3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)\left( -{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}=-2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}$
Để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua $B\left( 0;b \right)$ thì phương trình
$b=-2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}$ có duy nhất một nghiệm. Xét hàm số
$y=-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}\Rightarrow y'=-6{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow y=0 \\
& x=1\Rightarrow y=1 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm khi $\left[ \begin{aligned}
& b>1 \\
& b<0 \\
\end{aligned} \right.$
Với $b\in \left( -10;10 \right)$ có 17 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.