Google
Câu hỏi: Cho điểm $M$ trên cạnh SA, điểm $N$ trên cạnh SB của hình chóp tam giác S.ABC có thể tích bằng $V$ sao cho $\dfrac{S M}{S A}=\dfrac{1}{3}, \dfrac{S N}{S B}=x .$ Mặt phẳng $(P)$ qua MN và song song với SC chia khối chóp S.ABC thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau. Khẳng định nào sau đây là đúng
A. $0<x<1$.
B. $1<x<2$.
C. $2<x<3$.
D. $x>3$.
Trong $(A B S)$ có: $M N \cap A B=E$.
Trong $(S A C)$ có: $MQ\parallel SC,Q\in AC$.
Trong $(A B C)$ có: $E Q \cap B C=P$.
Khi đó $NP\parallel SC\parallel MQ\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{CQ}{CA}=\dfrac{1}{3} \\
\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{CP}{CB}=x \\
\end{array} \right.$.
Trong tam giác $SAB$ ta có: $\dfrac{N B}{N S} \cdot \dfrac{M S}{M A} \cdot \dfrac{E A}{E B}=1$
$\Rightarrow \dfrac{1-x}{x} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{E A}{E B}=1 \Rightarrow \dfrac{E A}{E B}=\dfrac{2 x}{1-x} \Rightarrow \dfrac{A B}{E B}=\dfrac{3 x-1}{1-x}$
Ta có $\dfrac{V_{\text {EAMQ }}}{V_{S, A B C}}=\dfrac{A M}{A S} \cdot \dfrac{A Q}{A C} \cdot \dfrac{E A}{B A}=\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2 x}{3 x-1}=\dfrac{8 x}{9(3 x-1)} \Rightarrow V_{\text {EAMQ }}=\dfrac{8 x}{9(3 x-1)} V$.
$\dfrac{{{V}_{EBNP}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{BN}{BS}\cdot \dfrac{BP}{BC}\cdot \dfrac{EB}{AB}={{(1-x)}^{2}}\cdot \dfrac{1-x}{3x-1}=\dfrac{{{(1-x)}^{3}}}{3x-1}\Rightarrow {{V}_{EBNP}}=\dfrac{{{(1-x)}^{3}}}{3x-1}V$
$\Rightarrow V_{A M Q B N P}=\dfrac{8 x}{9(3 x-1)} V-\dfrac{(1-x)^{3}}{3 x-1} V=\dfrac{1}{2} V \Leftrightarrow \dfrac{8 x}{9(3 x-1)}-\dfrac{(1-x)^{3}}{3 x-1}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x=\dfrac{8-\sqrt{10}}{6}$.
A. $0<x<1$.
B. $1<x<2$.
C. $2<x<3$.
D. $x>3$.
Trong $(A B S)$ có: $M N \cap A B=E$.
Trong $(S A C)$ có: $MQ\parallel SC,Q\in AC$.
Trong $(A B C)$ có: $E Q \cap B C=P$.
Khi đó $NP\parallel SC\parallel MQ\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{CQ}{CA}=\dfrac{1}{3} \\
\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{CP}{CB}=x \\
\end{array} \right.$.
Trong tam giác $SAB$ ta có: $\dfrac{N B}{N S} \cdot \dfrac{M S}{M A} \cdot \dfrac{E A}{E B}=1$
$\Rightarrow \dfrac{1-x}{x} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{E A}{E B}=1 \Rightarrow \dfrac{E A}{E B}=\dfrac{2 x}{1-x} \Rightarrow \dfrac{A B}{E B}=\dfrac{3 x-1}{1-x}$
Ta có $\dfrac{V_{\text {EAMQ }}}{V_{S, A B C}}=\dfrac{A M}{A S} \cdot \dfrac{A Q}{A C} \cdot \dfrac{E A}{B A}=\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2 x}{3 x-1}=\dfrac{8 x}{9(3 x-1)} \Rightarrow V_{\text {EAMQ }}=\dfrac{8 x}{9(3 x-1)} V$.
$\dfrac{{{V}_{EBNP}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{BN}{BS}\cdot \dfrac{BP}{BC}\cdot \dfrac{EB}{AB}={{(1-x)}^{2}}\cdot \dfrac{1-x}{3x-1}=\dfrac{{{(1-x)}^{3}}}{3x-1}\Rightarrow {{V}_{EBNP}}=\dfrac{{{(1-x)}^{3}}}{3x-1}V$
$\Rightarrow V_{A M Q B N P}=\dfrac{8 x}{9(3 x-1)} V-\dfrac{(1-x)^{3}}{3 x-1} V=\dfrac{1}{2} V \Leftrightarrow \dfrac{8 x}{9(3 x-1)}-\dfrac{(1-x)^{3}}{3 x-1}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x=\dfrac{8-\sqrt{10}}{6}$.
Đáp án A.