Cho điểm $M\left( 1; 2; 5 \right)$, mặt phẳng (P) đi qua điểm M...

Gọi $A\left( a; 0; 0 \right); B\left( 0; b; 0 \right); C\left( 0; 0; c \right) \left( a, b, c\ne 0 \right)$
Mặt phẳng (P) cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C có phương trình $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$
Vì $M\in \left( P \right)\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{5}{c}=1\left( * \right)$
Ta có $\overrightarrow{AM}=\left( 1-a; 2; 5 \right); \overrightarrow{BC}=\left( 0; -b; c \right); \overrightarrow{BM}=\left( 1; 2-b; 5 \right); \overrightarrow{AC}=\left( -a; 0; c \right)$
Vì M là trực tâm tam giác ABC $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0 \\
& \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2b+5c=0 \\
& -a+5c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=\dfrac{5c}{2} \\
& a=5c \\
\end{aligned} \right.$
Thay vào (*) ta được $\dfrac{1}{5c}+\dfrac{1}{\dfrac{5c}{2}}+\dfrac{5}{c}=1\Leftrightarrow c=6\Rightarrow a=30; b=15$
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\dfrac{x}{30}+\dfrac{y}{15}+\dfrac{z}{6}=1\Leftrightarrow x+2y+5z-30=0$