Google
Câu hỏi: Cho điểm ${M\left( 1; 2; 5 \right)}$. Mặt phẳng ${\left( P \right)}$ đi qua điểm ${M}$ cắt các trục tọa độ ${Ox, Oy, Oz}$ tại ${A, }$ ${B,}$ ${C}$ sao cho ${M}$ là trực tâm tam giác ${ABC}$. Phương trình mặt phẳng ${\left( P \right)}$ là
A. $x+y+z-8=0$.
B. $x+2y+5z-30=0$.
C. $\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{1}=0$.
D. $\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{1}=1$.
Ta có tính chất hình học sau : tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc thì điểm $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu vuông góc của điểm $O$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( 1; 2; 5 \right)$ và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{OM}\left( 1; 2; 5 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\left( x-1 \right)+2\left( y-2 \right)+5\left( z-5 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+5z-30=0.$
Cách 2:
Giả sử $A\left( a; 0; 0 \right); B\left( 0; b; 0 \right); C\left( 0; 0; c \right)$
Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.
Theo giả thiết ta có $M\in \left( P \right)$ nên $\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{5}{c}=1\left( 1 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AM}=\left( 1-a; 2; 5 \right); \overrightarrow{BC}\left( 0; -b; c \right); \overrightarrow{BM}=\left( 1; 2-b; 5 \right); \overrightarrow{AC}\left( -a; 0; c \right)$
Mặt khác $M$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0 \\
& \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2b=5c \\
& a=5c \\
\end{aligned} \right.\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $a=30;\ b=15; c=6$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\dfrac{x}{30}+\dfrac{y}{15}+\dfrac{z}{6}=1\Leftrightarrow x+2y+5z-30=0.$
A. $x+y+z-8=0$.
B. $x+2y+5z-30=0$.
C. $\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{1}=0$.
D. $\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{1}=1$.
Cách 1 :Ta có tính chất hình học sau : tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc thì điểm $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu vuông góc của điểm $O$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( 1; 2; 5 \right)$ và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{OM}\left( 1; 2; 5 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\left( x-1 \right)+2\left( y-2 \right)+5\left( z-5 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+5z-30=0.$
Cách 2:
Giả sử $A\left( a; 0; 0 \right); B\left( 0; b; 0 \right); C\left( 0; 0; c \right)$
Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.
Theo giả thiết ta có $M\in \left( P \right)$ nên $\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{5}{c}=1\left( 1 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AM}=\left( 1-a; 2; 5 \right); \overrightarrow{BC}\left( 0; -b; c \right); \overrightarrow{BM}=\left( 1; 2-b; 5 \right); \overrightarrow{AC}\left( -a; 0; c \right)$
Mặt khác $M$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0 \\
& \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2b=5c \\
& a=5c \\
\end{aligned} \right.\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $a=30;\ b=15; c=6$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\dfrac{x}{30}+\dfrac{y}{15}+\dfrac{z}{6}=1\Leftrightarrow x+2y+5z-30=0.$
Đáp án B.