Google
Câu hỏi: Cho điểm $A\left( 0;8;2 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình $\left( S \right):{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-7 \right)}^{2}}=72$ và điểm $B\left( 9;-7;23 \right)$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua A tiếp xúc với $\left( S \right)$ sao cho khoảng cách từ B đến $\left( P \right)$ là lớn nhất. Giả sử $\overrightarrow{n}=\left( 1;m;n \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $m.n=2$.
B. $m.n=-2$.
C. $m.n=4$.
D. $m.n=-4$.
A. $m.n=2$.
B. $m.n=-2$.
C. $m.n=4$.
D. $m.n=-4$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua A có dạng $a\left( x-0 \right)+b\left( y-8 \right)+c\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow ax+by+cz-8b-2c=0$.
Điều kiện tiếp xúc:
$d\left( I;\left( P \right) \right)=6\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| 5a-3b+7c-8b-2c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=6\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| 5a-11b+5c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=6\sqrt{2}\left( * \right)$
Mà $d\left( B;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 9a-7b+23c-8b-2c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 9a-15b+21c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
$=\dfrac{\left| 5a-11b+5c+4\left( a-b+4c \right) \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\le \dfrac{\left| 5a-11b+5c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}+4\dfrac{\left| a-b+4c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
$\le 6\sqrt{2}+4\dfrac{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=18\sqrt{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{-1}=\dfrac{c}{4}$. Chọn $a=1;b=-1;c=4$ thỏa mãn (*).
Khi đó $\left( P \right):x-y+4z=0$. Suy ra $m=-1;n=4$. Suy ra: $m.n=-4$.
Điều kiện tiếp xúc:
$d\left( I;\left( P \right) \right)=6\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| 5a-3b+7c-8b-2c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=6\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| 5a-11b+5c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=6\sqrt{2}\left( * \right)$
Mà $d\left( B;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 9a-7b+23c-8b-2c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 9a-15b+21c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
$=\dfrac{\left| 5a-11b+5c+4\left( a-b+4c \right) \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\le \dfrac{\left| 5a-11b+5c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}+4\dfrac{\left| a-b+4c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
$\le 6\sqrt{2}+4\dfrac{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=18\sqrt{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{-1}=\dfrac{c}{4}$. Chọn $a=1;b=-1;c=4$ thỏa mãn (*).
Khi đó $\left( P \right):x-y+4z=0$. Suy ra $m=-1;n=4$. Suy ra: $m.n=-4$.
Đáp án D.