Cho dãy số (un) có số hạng đầu $u_{1} \neq 1$ và thỏa mãn $\log...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho dãy số (un) có số hạng đầu

u_{1} \neq 1

và thỏa mãn

\log_{2}^{2} (5 u_{1}) + \log_{2}^{2} (7 u_{1}) = \log_{2}^{2} 5 + \log_{2}^{2} 7.

Biết

u_{n + 1} = 7 u_{n}

với mọi

n \geq 1.

Giá trị nhỏ nhất của n để

u_{n} > 1111111

bằng
A. 11.
B. 8.
C. 9.
D. 10.

Ta có:

\log_{2}^{2} (5 u_{1}) + \log_{2}^{2} (7 u_{1}) = \log_{2}^{2} 5 + \log_{2}^{2} 7 \Leftrightarrow \log_{2}^{2} (5 u_{1}) - \log_{2}^{2} 5 + \log_{2}^{2} (7 u_{1}) - \log_{2}^{2} 7 = 0

\Leftrightarrow (\log_{2}^{} 5 u_{1} - \log_{2}^{} 5) (\log_{2}^{} 5 u_{1} + \log_{2}^{} 5) + (\log_{2}^{} 7 u_{1} - \log_{2}^{} 7) (\log_{2}^{} 7 u_{1} + \log_{2}^{} 7) = 0

\Leftrightarrow \log_{2}^{} (u_{1}) . \log_{2}^{} (25 u_{1}) + \log_{2}^{} (u_{1}) . \log_{2}^{} (49 u_{1}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} \log_{2}^{} u_{1} = 0 \\ \log_{2}^{} (25 u_{1}) + \log_{2}^{} (49 u_{1}) = 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow [\begin{aligned} u_{1} = 1 \\ \log_{2}^{} (1225 u_{1}^{2}) = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow 1225 u_{1}^{2} = 1 \Leftrightarrow u^{2} = \frac{1}{1225} \Rightarrow u_{1} = \frac{1}{35}

Lại có

u_{n + 1} = 7 u_{n} \Rightarrow (u_{n})

là cấp số nhân với

u_{1} = \frac{1}{35}; q = 7 \Rightarrow u_{n} = \frac{7^{n - 1}}{35}

Do đó

u_{n} > 1111111 \Leftrightarrow \frac{7^{n - 1}}{35} > 1111111 \Leftrightarrow n > 1 + \log_{7} (35.1111111) \approx 9, 98.

Đáp án D.

Cho dãy số (un) có số hạng đầu u1≠1 và thỏa mãn $\log...