Google
Câu hỏi: Cho dãy số (un) có số hạng đầu ${{u}_{1}}\ne 1$ và thỏa mãn $\log _{2}^{2}\left( 5{{u}_{1}} \right)+\log _{2}^{2}\left( 7{{u}_{1}} \right)=\log _{2}^{2}5+\log _{2}^{2}7.$ Biết ${{u}_{n+1}}=7{{u}_{n}}$ với mọi $n\ge 1.$ Giá trị nhỏ nhất của n để ${{u}_{n}}>1111111$ bằng
A. 11.
B. 8.
C. 9.
D. 10.
A. 11.
B. 8.
C. 9.
D. 10.
Ta có: $\log _{2}^{2}\left( 5{{u}_{1}} \right)+\log _{2}^{2}\left( 7{{u}_{1}} \right)=\log _{2}^{2}5+\log _{2}^{2}7\Leftrightarrow \log _{2}^{2}\left( 5{{u}_{1}} \right)-\log _{2}^{2}5+\log _{2}^{2}\left( 7{{u}_{1}} \right)-\log _{2}^{2}7=0$
$\Leftrightarrow \left( \log _{2}^{{}}5{{u}_{1}}-\log _{2}^{{}}5 \right)\left( \log _{2}^{{}}5{{u}_{1}}+\log _{2}^{{}}5 \right)+\left( \log _{2}^{{}}7{{u}_{1}}-\log _{2}^{{}}7 \right)\left( \log _{2}^{{}}7{{u}_{1}}+\log _{2}^{{}}7 \right)=0$
$\Leftrightarrow \log _{2}^{{}}\left( {{u}_{1}} \right).\log _{2}^{{}}\left( 25{{u}_{1}} \right)+\log _{2}^{{}}\left( {{u}_{1}} \right).\log _{2}^{{}}\left( 49{{u}_{1}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \log _{2}^{{}}{{u}_{1}}=0 \\
& \log _{2}^{{}}\left( 25{{u}_{1}} \right)+\log _{2}^{{}}\left( 49{{u}_{1}} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{u}_{1}}=1 \\
& \log _{2}^{{}}\left( 1225u_{1}^{2} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 1225u_{1}^{2}=1\Leftrightarrow {{u}^{2}}=\dfrac{1}{1225}\Rightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{1}{35}$
Lại có ${{u}_{n+1}}=7{{u}_{n}}\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với ${{u}_{1}}=\dfrac{1}{35};q=7\Rightarrow {{u}_{n}}=\dfrac{{{7}^{n-1}}}{35}$
Do đó ${{u}_{n}}>1111111\Leftrightarrow \dfrac{{{7}^{n-1}}}{35}>1111111\Leftrightarrow n>1+{{\log }_{7}}\left( 35.1111111 \right)\approx 9,98.$
$\Leftrightarrow \left( \log _{2}^{{}}5{{u}_{1}}-\log _{2}^{{}}5 \right)\left( \log _{2}^{{}}5{{u}_{1}}+\log _{2}^{{}}5 \right)+\left( \log _{2}^{{}}7{{u}_{1}}-\log _{2}^{{}}7 \right)\left( \log _{2}^{{}}7{{u}_{1}}+\log _{2}^{{}}7 \right)=0$
$\Leftrightarrow \log _{2}^{{}}\left( {{u}_{1}} \right).\log _{2}^{{}}\left( 25{{u}_{1}} \right)+\log _{2}^{{}}\left( {{u}_{1}} \right).\log _{2}^{{}}\left( 49{{u}_{1}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \log _{2}^{{}}{{u}_{1}}=0 \\
& \log _{2}^{{}}\left( 25{{u}_{1}} \right)+\log _{2}^{{}}\left( 49{{u}_{1}} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{u}_{1}}=1 \\
& \log _{2}^{{}}\left( 1225u_{1}^{2} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 1225u_{1}^{2}=1\Leftrightarrow {{u}^{2}}=\dfrac{1}{1225}\Rightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{1}{35}$
Lại có ${{u}_{n+1}}=7{{u}_{n}}\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với ${{u}_{1}}=\dfrac{1}{35};q=7\Rightarrow {{u}_{n}}=\dfrac{{{7}^{n-1}}}{35}$
Do đó ${{u}_{n}}>1111111\Leftrightarrow \dfrac{{{7}^{n-1}}}{35}>1111111\Leftrightarrow n>1+{{\log }_{7}}\left( 35.1111111 \right)\approx 9,98.$
Đáp án D.