Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $u_{1} = 1$ và...

The Knowledge · 16/1/22

Câu hỏi: Cho dãy số

(u_{n})

xác định bởi

u_{1} = 1

và

u_{n + 1} = \sqrt{u_{n}^{2} + 2}, \forall n \in N^{*}

. Tổng

S = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} + . . . + u_{1001}^{2}

bằng:
A. 1002001
B. 1001001
C. 1001002
D. 1002002

HD: Ta có:

u_{n + 1} = \sqrt{u_{n}^{2} + 2} \Leftrightarrow u_{n + 1}^{2} = u_{n}^{2} + 2 \Rightarrow {\begin{aligned} u_{n}^{2} = u_{n - 1}^{2} + 2 \\ u_{n - 1}^{2} = u_{n - 2}^{2} + 2 \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ u_{2}^{2} = u_{1}^{2} + 2 \end{aligned}

\Rightarrow u_{n}^{2} + u_{n - 1}^{2} + . . . + u_{2}^{2} = u_{n - 1}^{2} + u_{n - 2}^{2} + . . . + u_{1}^{2} + 2 (n - 1) \Leftrightarrow u_{n}^{2} = u_{1}^{2} + 2 (n - 1) = 2 n - 1

Do đó

S = 2 (1 + 2 + 3 + . . .1001) - 1001 = 2. \frac{1 + 1001}{2} .1001 - 1001 = 1002001

.

Đáp án A.

Cho dãy số (un) xác định bởi u1=1 và...