Google
Câu hỏi: Cho dãy số $({{u}_{n}})$ xác định bởi ${{u}_{1}}=1$ và ${{u}_{n+1}}=\sqrt{u_{n}^{2}+2},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Tổng $S=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+...+u_{1001}^{2}$ bằng:
A. 1002001
B. 1001001
C. 1001002
D. 1002002
A. 1002001
B. 1001001
C. 1001002
D. 1002002
HD: Ta có: ${{u}_{n+1}}=\sqrt{u_{n}^{2}+2}\Leftrightarrow u_{n+1}^{2}=u_{n}^{2}+2\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& u_{n}^{2}=u_{n-1}^{2}+2 \\
& u_{n-1}^{2}=u_{n-2}^{2}+2 \\
& ...................... \\
& u_{2}^{2}=u_{1}^{2}+2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow u_{n}^{2}+u_{n-1}^{2}+...+u_{2}^{2}=u_{n-1}^{2}+u_{n-2}^{2}+...+u_{1}^{2}+2(n-1)\Leftrightarrow u_{n}^{2}=u_{1}^{2}+2(n-1)=2n-1$
Do đó $S=2(1+2+3+...1001)-1001=2.\dfrac{1+1001}{2}.1001-1001=1002001$.
& u_{n}^{2}=u_{n-1}^{2}+2 \\
& u_{n-1}^{2}=u_{n-2}^{2}+2 \\
& ...................... \\
& u_{2}^{2}=u_{1}^{2}+2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow u_{n}^{2}+u_{n-1}^{2}+...+u_{2}^{2}=u_{n-1}^{2}+u_{n-2}^{2}+...+u_{1}^{2}+2(n-1)\Leftrightarrow u_{n}^{2}=u_{1}^{2}+2(n-1)=2n-1$
Do đó $S=2(1+2+3+...1001)-1001=2.\dfrac{1+1001}{2}.1001-1001=1002001$.
Đáp án A.