Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi công thức...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho dãy số

(u_{n})

xác định bởi công thức

{\begin{aligned} u_{1} = 1; u_{2} = 2 \\ u_{n + 2} = \frac{2 u_{n} . u_{n + 1}}{u_{n} + u_{n + 1}}, \forall n \in N^{*} \end{aligned}

. Giới hạn của dãy

(u_{n})

bằng
A.

\frac{5}{6}

.
B.

\frac{6}{7}

.
C.

\frac{3}{2}

.
D.

\frac{2}{3}

.

Từ công thức xác định dãy

(u_{n})

suy ra

u_{n} > 0

,

\forall n \in N^{*}

Ta có:

u_{n + 2} = \frac{2 u_{n} . u_{n + 1}}{u_{n} + u_{n + 1}} \Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 2}} = \frac{1}{2} (\frac{1}{u_{n + 1}} + \frac{1}{u_{n}})

,

\forall n \in N^{*}

Đặt

v_{n} = \frac{1}{u_{n}}

, ta được

v_{1} = 1

;

v_{2} = \frac{1}{2}

và

v_{n + 2} = \frac{1}{2} (v_{n + 1} + v_{n})

\Leftrightarrow v_{n + 2} + \frac{1}{2} v_{n + 1} = v_{n + 1} + \frac{1}{2} v_{n}

,

\forall n \in N^{*}

\Rightarrow v_{n + 1} + \frac{1}{2} v_{n} = v_{2} + \frac{1}{2} v_{1} = 1

,

\forall n \in N^{*}

\Rightarrow v_{n + 1} = - \frac{1}{2} v_{n} + 1

,

\forall n \in N^{*}

\Rightarrow v_{n + 1} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{2} (v_{n} - \frac{2}{3})

,

\forall n \in N^{*}

Đặt

w_{n} = v_{n} - \frac{2}{3} \Rightarrow (w_{n})

là một cấp số nhân với

{\begin{aligned} w_{1} = \frac{1}{3} \\ q = - \frac{1}{2} \end{aligned}

\Rightarrow w_{n} = \frac{1}{3} . {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}

\Rightarrow v_{n} = \frac{1}{3} {(- \frac{1}{2})}^{n - 1} + \frac{2}{3}

\Rightarrow u_{n} = \frac{1}{\frac{1}{3} {(- \frac{1}{2})}^{n - 1} + \frac{2}{3}}

Vậy

lim u_{n} = lim \frac{1}{\frac{1}{3} {(- \frac{1}{2})}^{n - 1} + \frac{2}{3}} = \frac{3}{2}

.

Đáp án C.

Cho dãy số (un) xác định bởi công thức...