Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{1} = 2$ và...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho dãy số

(u_{n})

với

u_{1} = 2

và

u_{n + 1} = \frac{2 u_{n}}{\sqrt[3]{3 u_{n}^{3} + 8}}

với

\forall n \geq 1.

Hỏi có tất cả bao nhiêu số hạng của dãy

(u_{n})

có giá trị thuộc đoạn

[\frac{1}{\sqrt[9]{2018}}; 1] ?

A. 31.
B. 30.
C. 2017.
D. 2018.

Ta có:

u_{n + 1} = \frac{2 u_{n}}{\sqrt[3]{3 u_{n}^{3} + 8}} \Leftrightarrow u_{n + 1}^{3} = \frac{8 u_{n}^{3}}{3 u_{n}^{3} + 8} \Leftrightarrow 8 u_{n + 1}^{3} + 3 u_{n}^{3} . u_{n + 1}^{3} - 8 u_{n}^{3} = 0.

\Leftrightarrow \frac{8}{u_{n}^{3}} + 3 - \frac{8}{u_{n + 1}^{3}} = 0 \Leftrightarrow \frac{8}{u_{n + 1}^{3}} = \frac{8}{u_{n}^{3}} + 3

(*)
Đặt

v_{n} = \frac{8}{u_{n}^{3}} \overset{(*)}{\to} v_{n + 1} = v_{n} + 3,

suy ra

(v_{n})

là một cấp số cộng có

{\begin{aligned} v_{1} = \frac{8}{u_{1}^{3}} = 1 \\ d = 3 \end{aligned} .

Khi đó

\Rightarrow v_{n} = v_{1} + (n - 1) d = 3 n - 2 \Rightarrow \frac{8}{u_{n}^{3}} = 3 n - 2 \Leftrightarrow u_{n}^{3} = \frac{8}{3 n - 2} .

Xét các số hạng:

u_{n} \in [\frac{1}{\sqrt[9]{2018}}; 1] \Leftrightarrow u_{n}^{3} \in [\frac{1}{\sqrt[3]{2018}}; 1] \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{2018}} \leq \frac{8}{3 n - 2} \leq 1

\Leftrightarrow 8 \leq 3 n - 2 \leq 8. \sqrt[3]{2018} \Leftrightarrow 3, 3 \leq n \leq 34, 4 \overset{n \in N *}{\to} n : 4 \to 34,

có 31 số hạng.

Đáp án A.

Cho dãy số (un) với u1=2 và...