Google
Câu hỏi: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{1}}=2$ và ${{u}_{n+1}}=\dfrac{2{{u}_{n}}}{\sqrt[3]{3u_{n}^{3}+8}}$ với $\forall n\ge 1.$ Hỏi có tất cả bao nhiêu số hạng của dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ có giá trị thuộc đoạn $\left[ \dfrac{1}{\sqrt[9]{2018}};1 \right]?$
A. 31.
B. 30.
C. 2017.
D. 2018.
A. 31.
B. 30.
C. 2017.
D. 2018.
Ta có: ${{u}_{n+1}}=\dfrac{2{{u}_{n}}}{\sqrt[3]{3u_{n}^{3}+8}}\Leftrightarrow u_{n+1}^{3}=\dfrac{8u_{n}^{3}}{3u_{n}^{3}+8}\Leftrightarrow 8u_{n+1}^{3}+3u_{n}^{3}.u_{n+1}^{3}-8u_{n}^{3}=0.$
$\Leftrightarrow \dfrac{8}{u_{n}^{3}}+3-\dfrac{8}{u_{n+1}^{3}}=0\Leftrightarrow \dfrac{8}{u_{n+1}^{3}}=\dfrac{8}{u_{n}^{3}}+3$ (*)
Đặt ${{v}_{n}}=\dfrac{8}{u_{n}^{3}}\xrightarrow{\left( * \right)}{{v}_{n+1}}={{v}_{n}}+3,$ suy ra $\left( {{v}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng có $\left\{ \begin{aligned}
& {{v}_{1}}=\dfrac{8}{u_{1}^{3}}=1 \\
& d=3 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $\Rightarrow {{v}_{n}}={{v}_{1}}+\left( n-1 \right)d=3n-2\Rightarrow \dfrac{8}{u_{n}^{3}}=3n-2\Leftrightarrow u_{n}^{3}=\dfrac{8}{3n-2}.$
Xét các số hạng: ${{u}_{n}}\in \left[ \dfrac{1}{\sqrt[9]{2018}};1 \right]\Leftrightarrow u_{n}^{3}\in \left[ \dfrac{1}{\sqrt[3]{2018}};1 \right]\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt[3]{2018}}\le \dfrac{8}{3n-2}\le 1$
$\Leftrightarrow 8\le 3n-2\le 8.\sqrt[3]{2018}\Leftrightarrow 3,3\le n\le 34,4\xrightarrow{n\in \mathbb{N}*}n:4\to 34,$ có 31 số hạng.
$\Leftrightarrow \dfrac{8}{u_{n}^{3}}+3-\dfrac{8}{u_{n+1}^{3}}=0\Leftrightarrow \dfrac{8}{u_{n+1}^{3}}=\dfrac{8}{u_{n}^{3}}+3$ (*)
Đặt ${{v}_{n}}=\dfrac{8}{u_{n}^{3}}\xrightarrow{\left( * \right)}{{v}_{n+1}}={{v}_{n}}+3,$ suy ra $\left( {{v}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng có $\left\{ \begin{aligned}
& {{v}_{1}}=\dfrac{8}{u_{1}^{3}}=1 \\
& d=3 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $\Rightarrow {{v}_{n}}={{v}_{1}}+\left( n-1 \right)d=3n-2\Rightarrow \dfrac{8}{u_{n}^{3}}=3n-2\Leftrightarrow u_{n}^{3}=\dfrac{8}{3n-2}.$
Xét các số hạng: ${{u}_{n}}\in \left[ \dfrac{1}{\sqrt[9]{2018}};1 \right]\Leftrightarrow u_{n}^{3}\in \left[ \dfrac{1}{\sqrt[3]{2018}};1 \right]\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt[3]{2018}}\le \dfrac{8}{3n-2}\le 1$
$\Leftrightarrow 8\le 3n-2\le 8.\sqrt[3]{2018}\Leftrightarrow 3,3\le n\le 34,4\xrightarrow{n\in \mathbb{N}*}n:4\to 34,$ có 31 số hạng.
Đáp án A.