Google
Câu hỏi: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thoả mãn ${{2}^{2{{u}_{1}}+1}}+{{2}^{3-{{u}_{2}}}}=\dfrac{8}{{{\log }_{3}}\left( \dfrac{1}{4}u_{3}^{2}-4{{u}_{1}}+4 \right)}$ và ${{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}$ với mọi $n\ge 1$. Giá trị nhỏ nhất của $n$ để ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}>{{5}^{100}}$ bằng
A. $233$.
B. $234$.
C. $230$.
D. $231$.
A. $233$.
B. $234$.
C. $230$.
D. $231$.
Ta có dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thoả mãn ${{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}$ với mọi $n\ge 1$ nên dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q=2$.
suy ra ${{u}_{2}}=2{{u}_{1}}; {{u}_{3}}=2{{u}_{2}}=4{{u}_{1}}$.
Do đó ${{2}^{2{{u}_{1}}+1}}+{{2}^{3-{{u}_{2}}}}=\dfrac{8}{{{\log }_{3}}\left( \dfrac{1}{4}u_{3}^{2}-4{{u}_{1}}+4 \right)}\Leftrightarrow {{2}^{2{{u}_{1}}+1}}+{{2}^{3-2{{u}_{1}}}}=\dfrac{8}{{{\log }_{3}}\left( 4u_{1}^{2}-4{{u}_{1}}+4 \right)} \left( 1 \right)$.
Mà $VT\left( 1 \right)={{2}^{2{{u}_{1}}+1}}+{{2}^{3-2{{u}_{1}}}}\ge 2\sqrt{{{2}^{2{{u}_{1}}+1}}{{.2}^{3-2{{u}_{1}}}}}=8$.
Dấu “=” xảy ra ${{2}^{2{{u}_{1}}+1}}={{2}^{3-2{{u}_{1}}}}\Leftrightarrow 2{{u}_{1}}+1=3-2{{u}_{1}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{1}{2}$.
Lại có $4u_{1}^{2}-4{{u}_{1}}+4={{\left( 2{{u}_{1}}-1 \right)}^{2}}+3\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( 4u_{1}^{2}-4{{u}_{1}}+4 \right)\ge {{\log }_{3}}3=1$.
Suy ra $VP\left( 1 \right)=\dfrac{8}{{{\log }_{3}}\left( 4u_{1}^{2}-4{{u}_{1}}+4 \right)}\le 8$. Dấu “=” xảy ra $2{{u}_{1}}-1=0\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{1}{2}$.
Từ $\left( 1 \right)$ suy ra ${{u}_{1}}=\dfrac{1}{2}$.
Khi đó ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}={{u}_{1}}\dfrac{1-{{q}^{n}}}{1-q}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1-{{2}^{n}}}{1-2}=\dfrac{1}{2}\left( {{2}^{n}}-1 \right)$.
Suy ra ${{S}_{n}}>{{5}^{100}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {{2}^{n}}-1 \right)>{{5}^{100}}\Leftrightarrow {{2}^{n}}>{{2.5}^{100}}+1\Leftrightarrow n>{{\log }_{2}}\left( {{2.5}^{100}}+1 \right)\approx 233,193$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $n$ để ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}>{{5}^{100}}$ bằng $234$.
suy ra ${{u}_{2}}=2{{u}_{1}}; {{u}_{3}}=2{{u}_{2}}=4{{u}_{1}}$.
Do đó ${{2}^{2{{u}_{1}}+1}}+{{2}^{3-{{u}_{2}}}}=\dfrac{8}{{{\log }_{3}}\left( \dfrac{1}{4}u_{3}^{2}-4{{u}_{1}}+4 \right)}\Leftrightarrow {{2}^{2{{u}_{1}}+1}}+{{2}^{3-2{{u}_{1}}}}=\dfrac{8}{{{\log }_{3}}\left( 4u_{1}^{2}-4{{u}_{1}}+4 \right)} \left( 1 \right)$.
Mà $VT\left( 1 \right)={{2}^{2{{u}_{1}}+1}}+{{2}^{3-2{{u}_{1}}}}\ge 2\sqrt{{{2}^{2{{u}_{1}}+1}}{{.2}^{3-2{{u}_{1}}}}}=8$.
Dấu “=” xảy ra ${{2}^{2{{u}_{1}}+1}}={{2}^{3-2{{u}_{1}}}}\Leftrightarrow 2{{u}_{1}}+1=3-2{{u}_{1}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{1}{2}$.
Lại có $4u_{1}^{2}-4{{u}_{1}}+4={{\left( 2{{u}_{1}}-1 \right)}^{2}}+3\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( 4u_{1}^{2}-4{{u}_{1}}+4 \right)\ge {{\log }_{3}}3=1$.
Suy ra $VP\left( 1 \right)=\dfrac{8}{{{\log }_{3}}\left( 4u_{1}^{2}-4{{u}_{1}}+4 \right)}\le 8$. Dấu “=” xảy ra $2{{u}_{1}}-1=0\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{1}{2}$.
Từ $\left( 1 \right)$ suy ra ${{u}_{1}}=\dfrac{1}{2}$.
Khi đó ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}={{u}_{1}}\dfrac{1-{{q}^{n}}}{1-q}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1-{{2}^{n}}}{1-2}=\dfrac{1}{2}\left( {{2}^{n}}-1 \right)$.
Suy ra ${{S}_{n}}>{{5}^{100}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {{2}^{n}}-1 \right)>{{5}^{100}}\Leftrightarrow {{2}^{n}}>{{2.5}^{100}}+1\Leftrightarrow n>{{\log }_{2}}\left( {{2.5}^{100}}+1 \right)\approx 233,193$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $n$ để ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}>{{5}^{100}}$ bằng $234$.
Đáp án B.
