Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn...

Ta có: ${{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+3$ với mọi $n\ge 1$ nên ${{u}_{n}}$ là cấp số cộng có công sai $d=3$.
${{e}^{{{u}_{18}}}}+5\sqrt{{{e}^{{{u}_{18}}}}-{{e}^{4{{u}_{1}}}}}={{e}^{4{{u}_{1}}}}\Leftrightarrow 5\sqrt{{{e}^{{{u}_{18}}}}-{{e}^{4{{u}_{1}}}}}={{e}^{4{{u}_{1}}}}-{{e}^{{{u}_{18}}}} \left( 1 \right)$
Đặt $t={{e}^{{{u}_{18}}}}-{{e}^{4{{u}_{1}}}} \left( t\ge 0 \right)$
Phương trình (1) trở thành $5\sqrt{t}=-t\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\le 0 \\
& 25t={{t}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow t=0$
Với $t=0$, ta có: ${{e}^{{{u}_{18}}}}={{e}^{4{{u}_{1}}}}\Leftrightarrow {{u}_{18}}=4{{u}_{1}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}+51=4{{u}_{1}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=17$
Vậy ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d=17+\left( n-1 \right)3=3n+14$
Ta có: ${{\log }_{3}}{{u}_{n}}<\ln 2020\Leftrightarrow {{u}_{n}}<{{3}^{\ln 2020}}\Leftrightarrow 3n+14<{{3}^{\ln 2020}}$
$\Leftrightarrow n<\dfrac{{{3}^{\ln 2020}}-14}{3}\approx 1421,53$
Vậy giá trị lớn nhất của $n$ là 1421.