Google
Câu hỏi: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn ${{2}^{2{{u}_{1}}+1}}+{{2}^{3-{{u}_{2}}}}=\dfrac{8}{{{\log }_{3}}\left( \dfrac{1}{4}u_{3}^{2}-4{{u}_{1}}+4 \right)}$ và ${{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}$ với mọi $n\ge 1$. Giá trị nhỏ nhất của n để ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+....+{{u}_{n}}>{{5}^{100}}$ bằng
A. 230
B. 231
C. 233
D. 234
A. 230
B. 231
C. 233
D. 234
Ta có ${{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}\Rightarrow {{u}_{n}}$ là cấp số nhân với công bội $q=2\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{2}}=2{{u}_{1}} \\
& {{u}_{3}}=4{{u}_{1}} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó, giả thiết trở thành: ${{2}^{2{{u}_{1}}+1}}+{{2}^{3-2{{u}_{1}}}}=\dfrac{8}{{{\log }_{3}}\left( 4u_{1}^{2}-4{{u}_{1}}+4 \right)}$
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{2{{u}_{1}}+1}}+{{2}^{3-2{{u}_{1}}}}\ge 2\sqrt{{{2}^{2{{u}_{1}}+1}}{{.2}^{3-2{{u}_{1}}}}}=2\sqrt{{{2}^{4}}}=8 \\
& {{\log }_{3}}\left( 4u_{1}^{2}-4{{u}_{1}}+4 \right)={{\log }_{3}}\left[ {{\left( 2{{u}_{1}}-1 \right)}^{2}}+3 \right]\ge {{\log }_{3}}3=1 \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ \left( * \right)\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{1}{2}$
Do đó ${{u}_{n}}={{u}_{1}}{{.2}^{n-1}}=\dfrac{1}{2}{{.2}^{n-1}}\xrightarrow{{}}{{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left( 1-{{2}^{n}} \right)}{1-2}=\dfrac{1}{2}\left( {{2}^{n}}-1 \right)$
Vậy ${{S}_{n}}=\dfrac{1}{2}\left( {{2}^{n}}-1 \right)>{{5}^{100}}\Leftrightarrow {{2}^{n}}>{{2.5}^{100}}+1\Leftrightarrow n>{{\log }_{2}}\left( {{2.5}^{100}}+1 \right)=1+100.{{\log }_{2}}5$
& {{u}_{2}}=2{{u}_{1}} \\
& {{u}_{3}}=4{{u}_{1}} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó, giả thiết trở thành: ${{2}^{2{{u}_{1}}+1}}+{{2}^{3-2{{u}_{1}}}}=\dfrac{8}{{{\log }_{3}}\left( 4u_{1}^{2}-4{{u}_{1}}+4 \right)}$
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{2{{u}_{1}}+1}}+{{2}^{3-2{{u}_{1}}}}\ge 2\sqrt{{{2}^{2{{u}_{1}}+1}}{{.2}^{3-2{{u}_{1}}}}}=2\sqrt{{{2}^{4}}}=8 \\
& {{\log }_{3}}\left( 4u_{1}^{2}-4{{u}_{1}}+4 \right)={{\log }_{3}}\left[ {{\left( 2{{u}_{1}}-1 \right)}^{2}}+3 \right]\ge {{\log }_{3}}3=1 \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ \left( * \right)\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{1}{2}$
Do đó ${{u}_{n}}={{u}_{1}}{{.2}^{n-1}}=\dfrac{1}{2}{{.2}^{n-1}}\xrightarrow{{}}{{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left( 1-{{2}^{n}} \right)}{1-2}=\dfrac{1}{2}\left( {{2}^{n}}-1 \right)$
Vậy ${{S}_{n}}=\dfrac{1}{2}\left( {{2}^{n}}-1 \right)>{{5}^{100}}\Leftrightarrow {{2}^{n}}>{{2.5}^{100}}+1\Leftrightarrow n>{{\log }_{2}}\left( {{2.5}^{100}}+1 \right)=1+100.{{\log }_{2}}5$
Đáp án D.