Google
Câu hỏi: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn ${{e}^{{{u}_{16}}}}+4\sqrt{{{e}^{{{u}_{16}}}}-{{e}^{4{{u}_{1}}}}}={{e}^{4{{u}_{1}}}}$ và ${{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+4$ với $n\ge 1.$ Gía trị lớn nhất của n để ${{\log }_{5}}{{u}_{n}}<\ln 2020$ bằng
A. 52198.
B. 52200.
C. 52199.
D. 52197.
A. 52198.
B. 52200.
C. 52199.
D. 52197.
Ta có ${{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+4\Rightarrow {{u}_{n}}$ là cấp số cộng với công sai $d=4.$
Đặt $t=\sqrt{{{e}^{{{u}_{16}}}}-{{e}^{4{{u}_{1}}}}}\ge 0,$ khi đó giả thiết trở thành ${{t}^{2}}+4t=0\Leftrightarrow t=0$
Suy ra ${{e}^{{{u}_{16}}}}-{{e}^{4{{u}_{1}}}}=0\Leftrightarrow {{e}^{{{u}_{16}}}}={{e}^{4{{u}_{1}}}}\Leftrightarrow {{u}_{16}}=4{{u}_{1}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}+15\text{d}=4{{u}_{1}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=5\text{d}=20$
Do đó ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d=20+4\left( n-1 \right)=4n+16$ mà ${{\log }_{5}}{{u}_{n}}<\ln 2020$
Suy ra ${{\log }_{5}}\left( 4n+16 \right)<\ln 2020\Leftrightarrow n<\dfrac{{{5}^{{{5}^{\ln 2020}}}}-16}{4}\approx 52199,283$
Đặt $t=\sqrt{{{e}^{{{u}_{16}}}}-{{e}^{4{{u}_{1}}}}}\ge 0,$ khi đó giả thiết trở thành ${{t}^{2}}+4t=0\Leftrightarrow t=0$
Suy ra ${{e}^{{{u}_{16}}}}-{{e}^{4{{u}_{1}}}}=0\Leftrightarrow {{e}^{{{u}_{16}}}}={{e}^{4{{u}_{1}}}}\Leftrightarrow {{u}_{16}}=4{{u}_{1}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}+15\text{d}=4{{u}_{1}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=5\text{d}=20$
Do đó ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d=20+4\left( n-1 \right)=4n+16$ mà ${{\log }_{5}}{{u}_{n}}<\ln 2020$
Suy ra ${{\log }_{5}}\left( 4n+16 \right)<\ln 2020\Leftrightarrow n<\dfrac{{{5}^{{{5}^{\ln 2020}}}}-16}{4}\approx 52199,283$
Đáp án C.