Cho dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho dãy số

(u_{n})

thỏa mãn

2^{u_{1} + 1} + 2^{3 - u_{2}} = \frac{8}{\log_{3} (\frac{1}{4} u_{3}^{2} - 4 u_{1} + 4)}

và

u_{n + 1} = 2 u_{n}

với mọi

n \geq 1

. Giá trị nhỏ nhất của n để

S_{n} = u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} > 500^{100}

bằng
A. 230
B. 233
C. 234
D. 231

Dễ thấy

(u_{n})

là cấp số nhân với công bội

q = 2 \Rightarrow u_{n} = u_{1} {.2}^{n - 1} \Rightarrow {\begin{aligned} u_{2} = 2 u_{1} \\ u_{3} = 4 u_{1} \end{aligned}

Ta có

2^{2 u_{1} + 1} + 2^{3 - u_{2}} \geq 2 \sqrt{2^{2 u_{1} + 1} {.2}^{3 - u_{2}}} = 2 \sqrt{2^{2 u_{1} - u_{2} + 4}} = 2 \sqrt{2^{4}} = 8

Lại có

\frac{1}{4} u_{3}^{2} - 4 u_{1} + 4 = \frac{1}{4} {(u_{3})}^{2} - u_{3} + 4 \geq 3 \Rightarrow \frac{8}{\log_{3} (\frac{1}{4} u_{3}^{2} - 4 u_{1} + 4)} \leq \frac{8}{\log_{3} 3} = 8

Do đó, dấu bằng xảy ra khi

u_{3} = 2 \Rightarrow u_{1} = \frac{1}{2} \Rightarrow S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} = \frac{2^{n} - 1}{2}

Lại có

S_{n} > 5^{100} \Leftrightarrow \frac{2^{n} - 1}{2} > 5^{100} \Leftrightarrow 2^{n} > {2.5}^{100} + 1 \Leftrightarrow n > \log_{2} ({2.5}^{100} + 1) \approx 233, 19

.

Đáp án C.

Cho dãy số (un) thỏa mãn...