Google
Câu hỏi: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn ${{2}^{{{u}_{1}}+1}}+{{2}^{3-{{u}_{2}}}}=\dfrac{8}{{{\log }_{3}}\left( \dfrac{1}{4}u_{3}^{2}-4{{u}_{1}}+4 \right)}$ và ${{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}$ với mọi $n\ge 1$. Giá trị nhỏ nhất của n để ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}>{{500}^{100}}$ bằng
A. 230
B. 233
C. 234
D. 231
A. 230
B. 233
C. 234
D. 231
Dễ thấy $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q=2\Rightarrow {{u}_{n}}={{u}_{1}}{{.2}^{n-1}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{2}}=2{{u}_{1}} \\
& {{u}_{3}}=4{{u}_{1}} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có ${{2}^{2{{u}_{1}}+1}}+{{2}^{3-{{u}_{2}}}}\ge 2\sqrt{{{2}^{2{{u}_{1}}+1}}{{.2}^{3-{{u}_{2}}}}}=2\sqrt{{{2}^{2{{u}_{1}}-{{u}_{2}}+4}}}=2\sqrt{{{2}^{4}}}=8$
Lại có $\dfrac{1}{4}u_{3}^{2}-4{{u}_{1}}+4=\dfrac{1}{4}{{\left( {{u}_{3}} \right)}^{2}}-{{u}_{3}}+4\ge 3\Rightarrow \dfrac{8}{{{\log }_{3}}\left( \dfrac{1}{4}u_{3}^{2}-4{{u}_{1}}+4 \right)}\le \dfrac{8}{{{\log }_{3}}3}=8$
Do đó, dấu bằng xảy ra khi ${{u}_{3}}=2\Rightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{S}_{n}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{1-q}=\dfrac{{{2}^{n}}-1}{2}$
Lại có ${{S}_{n}}>{{5}^{100}}\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{n}}-1}{2}>{{5}^{100}}\Leftrightarrow {{2}^{n}}>{{2.5}^{100}}+1\Leftrightarrow n>{{\log }_{2}}\left( {{2.5}^{100}}+1 \right)\approx 233,19$.
& {{u}_{2}}=2{{u}_{1}} \\
& {{u}_{3}}=4{{u}_{1}} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có ${{2}^{2{{u}_{1}}+1}}+{{2}^{3-{{u}_{2}}}}\ge 2\sqrt{{{2}^{2{{u}_{1}}+1}}{{.2}^{3-{{u}_{2}}}}}=2\sqrt{{{2}^{2{{u}_{1}}-{{u}_{2}}+4}}}=2\sqrt{{{2}^{4}}}=8$
Lại có $\dfrac{1}{4}u_{3}^{2}-4{{u}_{1}}+4=\dfrac{1}{4}{{\left( {{u}_{3}} \right)}^{2}}-{{u}_{3}}+4\ge 3\Rightarrow \dfrac{8}{{{\log }_{3}}\left( \dfrac{1}{4}u_{3}^{2}-4{{u}_{1}}+4 \right)}\le \dfrac{8}{{{\log }_{3}}3}=8$
Do đó, dấu bằng xảy ra khi ${{u}_{3}}=2\Rightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{S}_{n}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{1-q}=\dfrac{{{2}^{n}}-1}{2}$
Lại có ${{S}_{n}}>{{5}^{100}}\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{n}}-1}{2}>{{5}^{100}}\Leftrightarrow {{2}^{n}}>{{2.5}^{100}}+1\Leftrightarrow n>{{\log }_{2}}\left( {{2.5}^{100}}+1 \right)\approx 233,19$.
Đáp án C.