Google
Câu hỏi: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn ${{u}_{1}}=1,{{u}_{n+1}}=\sqrt{au_{n}^{2}+1},\forall n\ge 1,a\ne 1$. Giá trị của biểu thức $T=ab$ bằng bao nhiêu. Biết rằng $\lim \left( u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+...+u_{n}^{2}-2n \right)=b$.
A. 1.
B. 2.
C. 1.
D. 2.
A. 1.
B. 2.
C. 1.
D. 2.
Ta có ${{u}_{n+1}}=\sqrt{au_{n}^{2}+1}\Leftrightarrow u_{n+1}^{2}=au_{n}^{2}+1\Leftrightarrow u_{n+1}^{2}-\dfrac{1}{1-a}=a\left( u_{n}^{2}-\dfrac{1}{1-a} \right)$.
Đặt ${{v}_{n}}=u_{n}^{2}-\dfrac{1}{1-a}\Rightarrow {{v}_{n+1}}=a{{v}_{n}}\Rightarrow \left( {{v}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q=a$.
Suy ra ${{v}_{n}}={{v}_{1}}{{a}^{n-1}}=\left( u_{1}^{2}-\dfrac{1}{1-a} \right){{a}^{n-1}}={{a}^{n-1}}.\dfrac{a}{a-1}\Rightarrow u_{n}^{2}={{a}^{n-1}}.\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{1}{1-a}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& u_{1}^{2}=\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{1}{1-a} \\
& u_{2}^{2}=a.\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{1}{1-a} \\
& ............................. \\
& u_{n}^{2}={{a}^{n-1}}.\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{1}{1-a} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+...+u_{n}^{2}=\dfrac{a}{a-1}\left( 1+a+...+{{a}^{n-1}} \right)+\dfrac{1}{1-a}.n$
$\Rightarrow u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+...+u_{n}^{2}-\dfrac{1}{1-a}.n=\dfrac{a}{a-1}.\dfrac{1-{{a}^{n}}}{1-a}$. Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{1-a}=2\Rightarrow a=\dfrac{1}{2} \\
& b=lim\left( \dfrac{a}{a-1}.\dfrac{1-{{a}^{n}}}{1-a} \right)=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow T=-1$.
Đặt ${{v}_{n}}=u_{n}^{2}-\dfrac{1}{1-a}\Rightarrow {{v}_{n+1}}=a{{v}_{n}}\Rightarrow \left( {{v}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q=a$.
Suy ra ${{v}_{n}}={{v}_{1}}{{a}^{n-1}}=\left( u_{1}^{2}-\dfrac{1}{1-a} \right){{a}^{n-1}}={{a}^{n-1}}.\dfrac{a}{a-1}\Rightarrow u_{n}^{2}={{a}^{n-1}}.\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{1}{1-a}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& u_{1}^{2}=\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{1}{1-a} \\
& u_{2}^{2}=a.\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{1}{1-a} \\
& ............................. \\
& u_{n}^{2}={{a}^{n-1}}.\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{1}{1-a} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+...+u_{n}^{2}=\dfrac{a}{a-1}\left( 1+a+...+{{a}^{n-1}} \right)+\dfrac{1}{1-a}.n$
$\Rightarrow u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+...+u_{n}^{2}-\dfrac{1}{1-a}.n=\dfrac{a}{a-1}.\dfrac{1-{{a}^{n}}}{1-a}$. Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{1-a}=2\Rightarrow a=\dfrac{1}{2} \\
& b=lim\left( \dfrac{a}{a-1}.\dfrac{1-{{a}^{n}}}{1-a} \right)=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow T=-1$.
Đáp án A.