Cho dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho dãy số

(u_{n})

thỏa mãn

u_{1} = 1, u_{n + 1} = \sqrt{a u_{n}^{2} + 1}, \forall n \geq 1, a \neq 1

. Giá trị của biểu thức

T = a b

bằng bao nhiêu. Biết rằng

lim (u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + . . . + u_{n}^{2} - 2 n) = b

.
A. 1.
B. 2.
C. 1.
D. 2.

Ta có

u_{n + 1} = \sqrt{a u_{n}^{2} + 1} \Leftrightarrow u_{n + 1}^{2} = a u_{n}^{2} + 1 \Leftrightarrow u_{n + 1}^{2} - \frac{1}{1 - a} = a (u_{n}^{2} - \frac{1}{1 - a})

.
Đặt

v_{n} = u_{n}^{2} - \frac{1}{1 - a} \Rightarrow v_{n + 1} = a v_{n} \Rightarrow (v_{n})

là cấp số nhân với công bội

q = a

.
Suy ra

v_{n} = v_{1} a^{n - 1} = (u_{1}^{2} - \frac{1}{1 - a}) a^{n - 1} = a^{n - 1} . \frac{a}{a - 1} \Rightarrow u_{n}^{2} = a^{n - 1} . \frac{a}{a - 1} + \frac{1}{1 - a}

.
Ta có:

{\begin{aligned} u_{1}^{2} = \frac{a}{a - 1} + \frac{1}{1 - a} \\ u_{2}^{2} = a . \frac{a}{a - 1} + \frac{1}{1 - a} \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ u_{n}^{2} = a^{n - 1} . \frac{a}{a - 1} + \frac{1}{1 - a} \end{aligned} \Rightarrow u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + . . . + u_{n}^{2} = \frac{a}{a - 1} (1 + a + . . . + a^{n - 1}) + \frac{1}{1 - a} . n

\Rightarrow u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + . . . + u_{n}^{2} - \frac{1}{1 - a} . n = \frac{a}{a - 1} . \frac{1 - a^{n}}{1 - a}

. Khi đó

{\begin{aligned} \frac{1}{1 - a} = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2} \\ b = l i m (\frac{a}{a - 1} . \frac{1 - a^{n}}{1 - a}) = - 2 \end{aligned} \Rightarrow T = - 1

.

Đáp án A.

Cho dãy số (un) thỏa mãn...