Cho dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn $\left\{...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Cho dãy số

(u_{n})

thỏa mãn

{\begin{aligned} u_{1} = 1 \\ u_{n} = 3 u_{n - 1} + 4, \forall n \geq 2 \end{aligned}

. Giá trị nhỏ nhất của

n

để

u_{n} > 3^{100}

là:
A. 102
B. 100
C. 103
D. 101

Ta có:

u_{n} = 3 u_{n - 1} + 4 \Leftrightarrow u_{n} + 2 = 3 (u_{n - 1} + 2)

.
Đặt

v_{n} = u_{n} + 2

, ta có:

{\begin{aligned} v_{1} = 3 \\ v_{n} = 3 v_{n - 1} \end{aligned} \Rightarrow v_{n}

là cấp số nhân có công bội

q = 3 \Rightarrow v_{n} = v_{1} . q^{n - 1} = {3.3}^{n - 1}

.
Suy ra

u_{n} = v_{n} - 2 = 3^{n} - 2

. Ta có

u_{n} > 3^{100} \Leftrightarrow 3^{n} - 2 > 3^{100} \Leftrightarrow 3^{n} > 3^{100} + 2 \Rightarrow n_{min} = 101

.

Đáp án D.

Cho dãy số (un) thỏa mãn $\left\{...