Google
Câu hỏi: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{1}}=1 \\
& {{u}_{n}}=3{{u}_{n-1}}+4,\ \forall n\ge 2 \\
\end{aligned} \right. $. Giá trị nhỏ nhất của $ n $ để $ {{u}_{n}}>{{3}^{100}}$ là:
A. 102
B. 100
C. 103
D. 101
& {{u}_{1}}=1 \\
& {{u}_{n}}=3{{u}_{n-1}}+4,\ \forall n\ge 2 \\
\end{aligned} \right. $. Giá trị nhỏ nhất của $ n $ để $ {{u}_{n}}>{{3}^{100}}$ là:
A. 102
B. 100
C. 103
D. 101
Ta có: ${{u}_{n}}=3{{u}_{n-1}}+4\Leftrightarrow {{u}_{n}}+2=3\left( {{u}_{n-1}}+2 \right)$.
Đặt ${{v}_{n}}={{u}_{n}}+2$, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{v}_{1}}=3 \\
& {{v}_{n}}=3{{v}_{n-1}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{v}_{n}} $ là cấp số nhân có công bội $ q=3\Rightarrow {{v}_{n}}={{v}_{1}}.{{q}^{n-1}}={{3.3}^{n-1}}$.
Suy ra ${{u}_{n}}={{v}_{n}}-2={{3}^{n}}-2$. Ta có ${{u}_{n}}>{{3}^{100}}\Leftrightarrow {{3}^{n}}-2>{{3}^{100}}\Leftrightarrow {{3}^{n}}>{{3}^{100}}+2\Rightarrow {{n}_{\min }}=101$.
Đặt ${{v}_{n}}={{u}_{n}}+2$, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{v}_{1}}=3 \\
& {{v}_{n}}=3{{v}_{n-1}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{v}_{n}} $ là cấp số nhân có công bội $ q=3\Rightarrow {{v}_{n}}={{v}_{1}}.{{q}^{n-1}}={{3.3}^{n-1}}$.
Suy ra ${{u}_{n}}={{v}_{n}}-2={{3}^{n}}-2$. Ta có ${{u}_{n}}>{{3}^{100}}\Leftrightarrow {{3}^{n}}-2>{{3}^{100}}\Leftrightarrow {{3}^{n}}>{{3}^{100}}+2\Rightarrow {{n}_{\min }}=101$.
Đáp án D.