Google
Câu hỏi: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn điều kiện ${{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+6,\forall n\ge 2$ và ${{\log }_{2}}{{u}_{5}}+{{\log }_{\sqrt{2}}}\sqrt{{{u}_{9}}+8}=11$. Đặt ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}$. Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất thỏa mãn ${{S}_{n}}\ge 20172018$.
A. 2587.
B. 2590.
C. 2593.
D. 2584.
A. 2587.
B. 2590.
C. 2593.
D. 2584.
Ta có ${{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+6,\forall n\ge 2\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d=6$.
Lại có ${{\log }_{2}}{{u}_{5}}+{{\log }_{\sqrt{2}}}\sqrt{{{u}_{9}}+8}=11\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{u}_{5}}+{{\log }_{2}}\left( {{u}_{9}}+8 \right)=11\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ {{u}_{5}}\left( {{u}_{9}}+8 \right) \right]=11$
$\Leftrightarrow {{u}_{5}}\left( {{u}_{9}}+8 \right)={{2}^{11}}\Leftrightarrow \left( {{u}_{1}}+4d \right)\left( {{u}_{1}}+8d+8 \right)={{2}^{11}}\Leftrightarrow \left( {{u}_{1}}+24 \right)\left( {{u}_{1}}+56 \right)=2048$
$\Leftrightarrow u_{1}^{2}+80{{u}_{1}}-704=0\Leftrightarrow {{u}_{1}}=8$. Do đó ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}=\dfrac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}=3{{n}^{2}}+n$.
Vậy ${{S}_{n}}\ge 20172018\Leftrightarrow 3{{n}^{2}}+n-20172018\ge 0\Leftrightarrow n\ge 2592,902\Rightarrow {{n}_{\min }}=2593$.
Lại có ${{\log }_{2}}{{u}_{5}}+{{\log }_{\sqrt{2}}}\sqrt{{{u}_{9}}+8}=11\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{u}_{5}}+{{\log }_{2}}\left( {{u}_{9}}+8 \right)=11\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ {{u}_{5}}\left( {{u}_{9}}+8 \right) \right]=11$
$\Leftrightarrow {{u}_{5}}\left( {{u}_{9}}+8 \right)={{2}^{11}}\Leftrightarrow \left( {{u}_{1}}+4d \right)\left( {{u}_{1}}+8d+8 \right)={{2}^{11}}\Leftrightarrow \left( {{u}_{1}}+24 \right)\left( {{u}_{1}}+56 \right)=2048$
$\Leftrightarrow u_{1}^{2}+80{{u}_{1}}-704=0\Leftrightarrow {{u}_{1}}=8$. Do đó ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}=\dfrac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}=3{{n}^{2}}+n$.
Vậy ${{S}_{n}}\ge 20172018\Leftrightarrow 3{{n}^{2}}+n-20172018\ge 0\Leftrightarrow n\ge 2592,902\Rightarrow {{n}_{\min }}=2593$.
Đáp án C.