Cho dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn điều kiện...

The Knowledge · 18/2/22

Câu hỏi: Cho dãy số

(u_{n})

thỏa mãn điều kiện

u_{n} = u_{n - 1} + 6, \forall n \geq 2

và

\log_{2} u_{5} + \log_{\sqrt{2}} \sqrt{u_{9} + 8} = 11

. Đặt

S_{n} = u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n}

. Tìm số tự nhiên

n

nhỏ nhất thỏa mãn

S_{n} \geq 20172018

.
A. 2587.
B. 2590.
C. 2593.
D. 2584.

Ta có

u_{n} = u_{n - 1} + 6, \forall n \geq 2 \Rightarrow (u_{n})

là cấp số cộng với công sai

d = 6

.
Lại có

\log_{2} u_{5} + \log_{\sqrt{2}} \sqrt{u_{9} + 8} = 11 \Leftrightarrow \log_{2} u_{5} + \log_{2} (u_{9} + 8) = 11 \Leftrightarrow \log_{2} [u_{5} (u_{9} + 8)] = 11

\Leftrightarrow u_{5} (u_{9} + 8) = 2^{11} \Leftrightarrow (u_{1} + 4 d) (u_{1} + 8 d + 8) = 2^{11} \Leftrightarrow (u_{1} + 24) (u_{1} + 56) = 2048

\Leftrightarrow u_{1}^{2} + 80 u_{1} - 704 = 0 \Leftrightarrow u_{1} = 8

. Do đó

S_{n} = u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} = \frac{n [2 u_{1} + (n - 1) d]}{2} = 3 n^{2} + n

.
Vậy

S_{n} \geq 20172018 \Leftrightarrow 3 n^{2} + n - 20172018 \geq 0 \Leftrightarrow n \geq 2592, 902 \Rightarrow n_{min} = 2593

.

Đáp án C.

Cho dãy số (un) thỏa mãn điều kiện...