Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right) c\acute{o}...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho dãy số

(u_{n}) c \overset{´}{o} u_{n + 1} = 10 u_{n} + 9, \forall n \geq 1

và

\log (u_{10} + 1) = u_{1} + 1

. Giá trị nhỏ nhất của n để

u_{n} > 2018^{2019}

bằng
A. 6673
B. 6672
C. 6671
D. 6674

Ta có:

u_{n + 1} = 10 u_{n} + 9 \Leftrightarrow u_{n + 1} + 1 = 10. (u_{n} + 1) (*)

Đặt

v_{n} = u_{n} + 1 \overset{(*)}{\to} v_{n + 1} = 10 v_{n}

, suy ra

v_{n}

là một cấp số nhân với công bội

q = 10

.
Suy ra:

v_{n} = v_{1} {.10}^{n - 1} \Leftrightarrow u_{n} + 1 = (u_{1} + 1) {.10}^{n - 1} (2 *)

. Từ (2*), suy ra:

u_{10} + 1 = (u_{1} + 1) {.10}^{9}

Khi đó:

\log (u_{10} + 1) = u_{1} + 1 \Leftrightarrow \log [(u_{1} + 1) {.10}^{9}] = u_{1} + 1 \Leftrightarrow 9 + \log (u_{1} + 1) = u_{1} + 1 \overset{C a s i o}{\Leftrightarrow} u_{1} = 9

Suy ra:

u_{n} + 1 = 10^{n} \Leftrightarrow u_{n} = 10^{n} - 1

Khi đó:

u_{n} > 2018^{2019} \Leftrightarrow 10^{n} - 1 > 2018^{2019} \Rightarrow 10^{n} > 2018^{2019} \Rightarrow n > 2019 \log 2018 \approx 6672, 64

\Rightarrow n_{min} = 6673

Đáp án A.