Google
Câu hỏi: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right) c\acute{o} {{u}_{n+1}}=10{{u}_{n}}+9, \forall n\ge 1$ và $\log \left( {{u}_{10}}+1 \right)={{u}_{1}}+1$. Giá trị nhỏ nhất của n để ${{u}_{n}}>{{2018}^{2019}}$ bằng
A. 6673
B. 6672
C. 6671
D. 6674
A. 6673
B. 6672
C. 6671
D. 6674
Ta có: ${{u}_{n+1}}=10{{u}_{n}}+9\Leftrightarrow {{u}_{n+1}}+1=10.\left( {{u}_{n}}+1 \right)\left( * \right)$
Đặt ${{v}_{n}}={{u}_{n}}+1\xrightarrow{\left( * \right)}{{v}_{n+1}}=10{{v}_{n}}$, suy ra ${{v}_{n}}$ là một cấp số nhân với công bội $q=10$.
Suy ra: ${{v}_{n}}={{v}_{1}}{{.10}^{n-1}}\Leftrightarrow {{u}_{n}}+1=\left( {{u}_{1}}+1 \right){{.10}^{n-1}}\left( 2* \right)$. Từ (2*), suy ra: ${{u}_{10}}+1=\left( {{u}_{1}}+1 \right){{.10}^{9}}$
Khi đó:
$\log \left( {{u}_{10}}+1 \right)={{u}_{1}}+1\Leftrightarrow \log \left[ \left( {{u}_{1}}+1 \right){{.10}^{9}} \right]={{u}_{1}}+1\Leftrightarrow 9+\log \left( {{u}_{1}}+1 \right)={{u}_{1}}+1\overset{Casio}{\mathop{\Leftrightarrow }} {{u}_{1}}=9$
Suy ra: ${{u}_{n}}+1={{10}^{n}}\Leftrightarrow {{u}_{n}}={{10}^{n}}-1$
Khi đó: ${{u}_{n}}>{{2018}^{2019}}\Leftrightarrow {{10}^{n}}-1>{{2018}^{2019}}\Rightarrow {{10}^{n}}>{{2018}^{2019}}\Rightarrow n>2019\log 2018\approx 6672,64$
$\Rightarrow {{n}_{\min }}=6673$
Đặt ${{v}_{n}}={{u}_{n}}+1\xrightarrow{\left( * \right)}{{v}_{n+1}}=10{{v}_{n}}$, suy ra ${{v}_{n}}$ là một cấp số nhân với công bội $q=10$.
Suy ra: ${{v}_{n}}={{v}_{1}}{{.10}^{n-1}}\Leftrightarrow {{u}_{n}}+1=\left( {{u}_{1}}+1 \right){{.10}^{n-1}}\left( 2* \right)$. Từ (2*), suy ra: ${{u}_{10}}+1=\left( {{u}_{1}}+1 \right){{.10}^{9}}$
Khi đó:
$\log \left( {{u}_{10}}+1 \right)={{u}_{1}}+1\Leftrightarrow \log \left[ \left( {{u}_{1}}+1 \right){{.10}^{9}} \right]={{u}_{1}}+1\Leftrightarrow 9+\log \left( {{u}_{1}}+1 \right)={{u}_{1}}+1\overset{Casio}{\mathop{\Leftrightarrow }} {{u}_{1}}=9$
Suy ra: ${{u}_{n}}+1={{10}^{n}}\Leftrightarrow {{u}_{n}}={{10}^{n}}-1$
Khi đó: ${{u}_{n}}>{{2018}^{2019}}\Leftrightarrow {{10}^{n}}-1>{{2018}^{2019}}\Rightarrow {{10}^{n}}>{{2018}^{2019}}\Rightarrow n>2019\log 2018\approx 6672,64$
$\Rightarrow {{n}_{\min }}=6673$
Đáp án A.