Cho đa thức $f\left( x \right)$ với hệ số thực và thỏa mãn $2f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)={{x}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}.$ Biết tiếp...

Phương pháp:
- Thay $x$ bởi $1-x,$ giải hệ phương trình tìm hàm $f\left( x \right).$
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x=1$ là
$y=f'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)+f\left( 1 \right)\left( d \right)$
- Tìm $A=d\cap Ox,B=d\cap Oy.$ Tìm tọa độ điểm $A,B$ và tính $OA,OB.$
- Tính ${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}OA.OB.$
Cách giải:
Ta có $2f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)={{x}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow 2f\left( 1-x \right)+f\left( x \right)={{\left( 1-x \right)}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)+2f\left( 1-x \right)={{x}^{2}}-2x+1,\forall x\in \mathbb{R}$
Ta có hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& 2f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)={{x}^{2}} \\
& f\left( x \right)+2f\left( 1-x \right)={{x}^{2}}-2x+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4f\left( x \right)+2f\left( 1-x \right)=2{{x}^{2}} \\
& f\left( x \right)+2f\left( 1-x \right)={{x}^{2}}-2x+1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow 3f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x-1\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}\left( {{x}^{2}}+2x-1 \right)\Rightarrow f\left( 1 \right)=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{1}{3}\left( 2x+2 \right)\Rightarrow f'\left( 1 \right)=\dfrac{4}{3}$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x=1$ là:
$y=\dfrac{4}{3}\left( x-1 \right)+\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow y=\dfrac{4}{3}x-\dfrac{2}{3}\left( d \right)$
Gọi $A=d\cap Ox.$ Cho $y=0\Rightarrow \dfrac{4}{3}x-\dfrac{2}{3}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow A\left( \dfrac{1}{2};0 \right)$ và $OA=\dfrac{1}{2}.$
Gọi $B=d\cap Oy.$ Cho $x=0\Rightarrow y=\dfrac{4}{3}.0-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{2}{3}\Rightarrow B\left( 0;-\dfrac{2}{3} \right)$ và $OB=\dfrac{2}{3}.$
Vậy ${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}OA.OB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{6}.$