Google
Câu hỏi: . Cho đa thức $f\left( x \right)={{\left( 1+3x \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{a}_{n}}{{x}^{n}}\left( n\in {{N}^{*}} \right).$ Tìm hệ số ${{a}_{3}}$ biết rằng ${{a}_{1}}+2{{a}_{2}}+...+n{{a}_{n}}=49152n.$
A. ${{a}_{3}}=945.$
B. ${{a}_{3}}=252.$
C. ${{a}_{3}}=5670.$
D. ${{a}_{3}}=1512.$
A. ${{a}_{3}}=945.$
B. ${{a}_{3}}=252.$
C. ${{a}_{3}}=5670.$
D. ${{a}_{3}}=1512.$
Phương pháp:
Đạo hàm hàm số $f\left( x \right)$ và chọn giá trị x phù hợp để tính giá trị biểu thức đề bài cho.
Cách giải:
Ta có: $f\left( x \right)={{\left( 1+3x \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( 3x \right)}^{k}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{a}_{n}}{{x}^{n}}}$.
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=n{{\left( 1+3x \right)}^{n-1}}={{a}_{1}}+2{{a}_{2}}x+...n{{a}_{n}}{{x}^{n-1}}$.
Chọn $x=1$ ta có: ${f}'\left( 1 \right)=3n{{\left( 1+3x \right)}^{n-1}}={{a}_{1}}+2{{a}_{2}}+...+n{{a}_{n}}=49152n$
$\Leftrightarrow 3n{{.4}^{n-1}}=49152n\Leftrightarrow {{4}^{n-1}}=16384$
$\Leftrightarrow {{4}^{n}}=65536\Leftrightarrow n=8\left( tm \right)$
$\Rightarrow {{a}_{3}}=C_{8}^{3}{{.3}^{3}}=1512$.
Đạo hàm hàm số $f\left( x \right)$ và chọn giá trị x phù hợp để tính giá trị biểu thức đề bài cho.
Cách giải:
Ta có: $f\left( x \right)={{\left( 1+3x \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( 3x \right)}^{k}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{a}_{n}}{{x}^{n}}}$.
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=n{{\left( 1+3x \right)}^{n-1}}={{a}_{1}}+2{{a}_{2}}x+...n{{a}_{n}}{{x}^{n-1}}$.
Chọn $x=1$ ta có: ${f}'\left( 1 \right)=3n{{\left( 1+3x \right)}^{n-1}}={{a}_{1}}+2{{a}_{2}}+...+n{{a}_{n}}=49152n$
$\Leftrightarrow 3n{{.4}^{n-1}}=49152n\Leftrightarrow {{4}^{n-1}}=16384$
$\Leftrightarrow {{4}^{n}}=65536\Leftrightarrow n=8\left( tm \right)$
$\Rightarrow {{a}_{3}}=C_{8}^{3}{{.3}^{3}}=1512$.
Đáp án D.