. Cho đa thức $f\left( x \right)={{\left( 1+3x...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Cho đa thức

f (x) = {(1 + 3 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + . . . + a_{n} x^{n} (n \in N^{*}) .

Tìm hệ số

a_{3}

biết rằng

a_{1} + 2 a_{2} + . . . + n a_{n} = 49152 n .

A.

a_{3} = 945.

B.

a_{3} = 252.

C.

a_{3} = 5670.

D.

a_{3} = 1512.

Phương pháp:
Đạo hàm hàm số

f (x)

và chọn giá trị x phù hợp để tính giá trị biểu thức đề bài cho.
Cách giải:
Ta có:

f (x) = {(1 + 3 x)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} {(3 x)}^{k} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + . . . + a_{n} x^{n}

.

\Rightarrow f^{'} (x) = n {(1 + 3 x)}^{n - 1} = a_{1} + 2 a_{2} x + . . . n a_{n} x^{n - 1}

.
Chọn

x = 1

ta có:

f^{'} (1) = 3 n {(1 + 3 x)}^{n - 1} = a_{1} + 2 a_{2} + . . . + n a_{n} = 49152 n

\Leftrightarrow 3 n {.4}^{n - 1} = 49152 n \Leftrightarrow 4^{n - 1} = 16384

\Leftrightarrow 4^{n} = 65536 \Leftrightarrow n = 8 (t m)

\Rightarrow a_{3} = C_{8}^{3} {.3}^{3} = 1512

.

Đáp án D.