Google
Câu hỏi: Cho đa thức $f\left( x \right)$ hệ số thực và thỏa mãn điều kiện $2f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)={{x}^{2}},\ \forall x\in \mathbb{R}$. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số $y=3x.f\left( x \right)+\left( m-1 \right)x+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $m\in \mathbb{R}$
B. $m\ge \dfrac{10}{3}$
C. $m\le 1$
D. $m>1$
A. $m\in \mathbb{R}$
B. $m\ge \dfrac{10}{3}$
C. $m\le 1$
D. $m>1$
Từ giả thiết, thay $x$ bởi $x-1$ ta được $2f\left( 1-x \right)+f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}$.
Khi đó ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& 2f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)={{x}^{2}} \\
& 2f\left( 1-x \right)+f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 3f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x-1$.
Suy ra $y={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x+1\to y'=3{{x}^{2}}+4x+m-2$.
YCBT $\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '\le 0 \\
& a=3>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 4-3\left( m-2 \right)\le 0\Rightarrow m\ge \dfrac{10}{3}$.
Khi đó ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& 2f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)={{x}^{2}} \\
& 2f\left( 1-x \right)+f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 3f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x-1$.
Suy ra $y={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x+1\to y'=3{{x}^{2}}+4x+m-2$.
YCBT $\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '\le 0 \\
& a=3>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 4-3\left( m-2 \right)\le 0\Rightarrow m\ge \dfrac{10}{3}$.
Đáp án B.