Google
Câu hỏi: Cho đa giác đều 100 đỉnh, chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của 1 tam giác tù là
A. $\dfrac{3}{11}.$
B. $\dfrac{16}{33}.$
C. $\dfrac{8}{11}.$
D. $\dfrac{4}{11}.$
A. $\dfrac{3}{11}.$
B. $\dfrac{16}{33}.$
C. $\dfrac{8}{11}.$
D. $\dfrac{4}{11}.$
Số cách chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh là $C_{100}^{3}$
Giả sử chọn được 1 tam giác tù ABC với góc nhọn A, B tù, C nhọn.
Chọn 1 đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 100 cách. Kẻ đường kính qua đỉnh vừa chọn chia đường tròn thành 2 phần (trái và phải)
Để tạo thành tam giác tù thì 2 đỉnh còn lại được chọn sẽ cùng nằm bên trái hoặc cùng nằm bên phải
+ Hai đỉnh còn lại cùng nằm bên trái có $C_{\dfrac{100}{2}-1}^{2}=C_{49}^{2}$ cách
+ Hai đỉnh còn lại cùng nằm bên phải có $C_{\dfrac{100}{2}-1}^{2}=C_{49}^{2}$ cách
Vậy có tất cả số tam giác tù là $100.\left( C_{49}^{2}+C_{49}^{2} \right),$ tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A, C như nhau nên số tam giác tính 2 lần. Do đó số tam giác tù tạo thành là $\dfrac{100.\left( C_{49}^{2}+C_{49}^{2} \right)}{2}=\dfrac{100\left( 100-2 \right)\left( 100-4 \right)}{8}=117600.$
Vậy xác suất cần tìm $P=\dfrac{117600}{C_{100}^{3}}=\dfrac{8}{11}.$
Giả sử chọn được 1 tam giác tù ABC với góc nhọn A, B tù, C nhọn.
Chọn 1 đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 100 cách. Kẻ đường kính qua đỉnh vừa chọn chia đường tròn thành 2 phần (trái và phải)
Để tạo thành tam giác tù thì 2 đỉnh còn lại được chọn sẽ cùng nằm bên trái hoặc cùng nằm bên phải
+ Hai đỉnh còn lại cùng nằm bên trái có $C_{\dfrac{100}{2}-1}^{2}=C_{49}^{2}$ cách
+ Hai đỉnh còn lại cùng nằm bên phải có $C_{\dfrac{100}{2}-1}^{2}=C_{49}^{2}$ cách
Vậy có tất cả số tam giác tù là $100.\left( C_{49}^{2}+C_{49}^{2} \right),$ tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A, C như nhau nên số tam giác tính 2 lần. Do đó số tam giác tù tạo thành là $\dfrac{100.\left( C_{49}^{2}+C_{49}^{2} \right)}{2}=\dfrac{100\left( 100-2 \right)\left( 100-4 \right)}{8}=117600.$
Vậy xác suất cần tìm $P=\dfrac{117600}{C_{100}^{3}}=\dfrac{8}{11}.$
Đáp án C.