Cho đa giác có 20 đỉnh. Chọn 4 đỉnh bất kì của đa giác. Tính xác...

Số cách chọn 4 đỉnh từ 20 đỉnh là: $n(\mathrm{\Omega })=C_{20}^4$.
Gọi A là biến cố 4 đỉnh được chọn tạo thành tứ giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác.
Số tứ giác có 2 cạnh chung với đa giác n đỉnh có công thức là: ${\displaystyle \frac{3n(n-5)}{2}}$.
Trường hợp 1:

Tứ giác có hai cạnh kề trùng với cạnh của đa giác. Vì hai cạnh kề cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác có n đỉnh, nên có n cách chọn hai cạnh kề tùng với cạnh của đa giác.
Chọn 1 đỉnh còn lại trong $n-5$ đỉnh (bỏ 3 đỉnh tạo nên hai cạnh kề và 2 đỉnh hai bên). Do đó trường hợp này có $n(n-5)$ tứ giác.
Trường hợp 2:

Tứ giác có hai cạnh đối thuộc cạnh của đa giác. Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách.
Trong $n-4$ đỉnh còn lại (bỏ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn ở trên và 2 đỉnh liền kề cạnh đã chọn sẽ tạo nên $n-5$ cạnh.
Chọn 1 cạnh trong $n-5$ cạnh đó nên có $n-5$ cách.
Song trường hợp này số tứ giác ta đếm 2 lần, do đó trường hợp này có ${\displaystyle \frac{n(n-5)}{2}}$ tứ giác.
Vậy có tất cả: $n(n-5)+{\displaystyle \frac{n(n-5)}{2}}={\displaystyle \frac{3n(n-5)}{2}}$ tứ giác.
Áp dụng vào bài với $n=20$, suy ra $n(A)={\displaystyle \frac{3.20.(20-5)}{2}}=450$.
Suy ra xác suất cần tìm là: $P(A)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(\mathrm{\Omega })}}={\displaystyle \frac{450}{C_{20}^4}}={\displaystyle \frac{30}{323}}$.