Google
Câu hỏi: Cho cơ hệ như hình vẽ: hòn bi có kích thước rất nhỏ nặng $\mathrm{m}=150 \mathrm{~g}$ treo vào đầu một sợi dây đàn hồi có chiều dài tự nhiên $\ell=20 \mathrm{~cm}$, có hệ số đàn hồi $\mathrm{k}_1=50 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$ (đầu trên sợi dây gắn cố định tại $\mathrm{H}$ ). Một cái đĩa $\mathrm{M}=250 \mathrm{~g}$ được gắn chặt ở đầu trên của lò xo nhẹ có độ cứng $\mathrm{k}_2=$ $100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$, đầu dưới của lò xo gắn cố định, sao cho hệ chỉ có thể dao động theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo và trùng với phương của sợi dây.
Lúc đầu, giữ $\mathrm{m}$ tại điểm $\mathrm{H}$ thì khoảng cách từ $\mathrm{M}$ đến $\mathrm{H}$ đúng bằng $\ell$. Sau đó, thả $\mathrm{m}$ không vận tốc đầu, khi $\mathrm{m}$ chạm $\mathrm{M}$ thì xảy ra va chạm mềm, hai vật dính chặt vào nhau và cùng dao động với chu kì $\mathrm{T}_{\mathrm{h}}$. Bỏ qua mọi ma sát. Lấy $\mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$. Giá trị của $\mathrm{T}_{\mathrm{h}}$ gần giá trị nào nhất sau đây?
A. $0,35 \mathrm{~s}$.
B. $0,29 \mathrm{~s}$.
C. $0,32 \mathrm{~s}$.
D. $0,36 \mathrm{~s}$.
A. $0,35 \mathrm{~s}$.
B. $0,29 \mathrm{~s}$.
C. $0,32 \mathrm{~s}$.
D. $0,36 \mathrm{~s}$.
GĐ1: Sau va chạm hệ 2 lò xo và vật cùng dao động
${{v}_{m}}=\sqrt{2gl}=\sqrt{2.10.0,2}=2m/s=200cm/s$
$v=\dfrac{m{{v}_{m}}}{m+M}=\dfrac{0,15.200}{0,15+0,25}=75cm/s$
$k={{k}_{1}}+{{k}_{2}}=50+100=150$ (N/m)
$\omega =\sqrt{\dfrac{k}{m+M}}=\sqrt{\dfrac{150}{0,15+0,25}}=5\sqrt{15}$ (rad/s)
Trước va chạm, tại vtcb lò xo bị nén một đoạn $\Delta l=\dfrac{Mg}{{{k}_{2}}}=\dfrac{0,25.10}{100}=0,025m=2,5cm$
Sau va chạm, tại vtcb O của hệ, gọi $\Delta {{l}_{1}}$ là độ dãn của dây thì $\Delta l+\Delta {{l}_{1}}$ là độ nén của lò xo
${{k}_{1}}\Delta {{l}_{1}}+{{k}_{2}}\left( \Delta l+\Delta {{l}_{1}} \right)=\left( m+M \right)g\Rightarrow 50\Delta {{l}_{1}}+100\left( 0,025+\Delta {{l}_{1}} \right)=\left( 0,15+0,25 \right).10\Rightarrow \Delta {{l}_{1}}=0,01m=1cm$
$A=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{\omega } \right)}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( \dfrac{75}{5\sqrt{15}} \right)}^{2}}}=4cm$
GĐ2: Dây chùng, chỉ còn lò xo gắn với 2 vật dao động với vtcb O2
${{\omega }_{2}}=\sqrt{\dfrac{{{k}_{2}}}{m+M}}=\sqrt{\dfrac{100}{0,15+0,25}}=5\sqrt{10}$ (rad/s)
$\Delta {{l}_{02}}=\dfrac{\left( m+M \right)g}{{{k}_{2}}}=\dfrac{\left( 0,15+0,25 \right).10}{100}=0,04m=4cm$
${{A}_{2}}=\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{\left( \dfrac{v}{{{\omega }_{2}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{1,{{5}^{2}}+{{\left( \dfrac{75}{5\sqrt{10}} \right)}^{2}}}=1,5\sqrt{11}$ (cm)
${{T}_{h}}=2\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)=2\left( \dfrac{\arccos \dfrac{x}{A}}{\omega }+\dfrac{\arccos \left| \dfrac{{{x}_{2}}}{{{A}_{2}}} \right|}{{{\omega }_{2}}} \right)=2\left( \dfrac{\arccos \dfrac{-1}{4}}{5\sqrt{15}}+\dfrac{\arccos \dfrac{1,5}{1,5\sqrt{11}}}{5\sqrt{10}} \right)\approx 0,348s$.
${{v}_{m}}=\sqrt{2gl}=\sqrt{2.10.0,2}=2m/s=200cm/s$
$v=\dfrac{m{{v}_{m}}}{m+M}=\dfrac{0,15.200}{0,15+0,25}=75cm/s$
$k={{k}_{1}}+{{k}_{2}}=50+100=150$ (N/m)
$\omega =\sqrt{\dfrac{k}{m+M}}=\sqrt{\dfrac{150}{0,15+0,25}}=5\sqrt{15}$ (rad/s)
Trước va chạm, tại vtcb lò xo bị nén một đoạn $\Delta l=\dfrac{Mg}{{{k}_{2}}}=\dfrac{0,25.10}{100}=0,025m=2,5cm$
Sau va chạm, tại vtcb O của hệ, gọi $\Delta {{l}_{1}}$ là độ dãn của dây thì $\Delta l+\Delta {{l}_{1}}$ là độ nén của lò xo
${{k}_{1}}\Delta {{l}_{1}}+{{k}_{2}}\left( \Delta l+\Delta {{l}_{1}} \right)=\left( m+M \right)g\Rightarrow 50\Delta {{l}_{1}}+100\left( 0,025+\Delta {{l}_{1}} \right)=\left( 0,15+0,25 \right).10\Rightarrow \Delta {{l}_{1}}=0,01m=1cm$
$A=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{\omega } \right)}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( \dfrac{75}{5\sqrt{15}} \right)}^{2}}}=4cm$
GĐ2: Dây chùng, chỉ còn lò xo gắn với 2 vật dao động với vtcb O2
$\Delta {{l}_{02}}=\dfrac{\left( m+M \right)g}{{{k}_{2}}}=\dfrac{\left( 0,15+0,25 \right).10}{100}=0,04m=4cm$
${{A}_{2}}=\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{\left( \dfrac{v}{{{\omega }_{2}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{1,{{5}^{2}}+{{\left( \dfrac{75}{5\sqrt{10}} \right)}^{2}}}=1,5\sqrt{11}$ (cm)
${{T}_{h}}=2\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)=2\left( \dfrac{\arccos \dfrac{x}{A}}{\omega }+\dfrac{\arccos \left| \dfrac{{{x}_{2}}}{{{A}_{2}}} \right|}{{{\omega }_{2}}} \right)=2\left( \dfrac{\arccos \dfrac{-1}{4}}{5\sqrt{15}}+\dfrac{\arccos \dfrac{1,5}{1,5\sqrt{11}}}{5\sqrt{10}} \right)\approx 0,348s$.
Đáp án A.