Google
Câu hỏi: Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn ${{u}_{2}}\ge 100{{u}_{1}}\ge 1$. Đặt $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$. Biết $f\left( \log {{u}_{2}} \right)+4=f\left( \log {{u}_{1}} \right)$. Số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho ${{u}_{n}}>{{10}^{2020}}$ là:
A. 1012.
B. 2020.
C. 2019.
D. 1011.
A. 1012.
B. 2020.
C. 2019.
D. 1011.
Ta có: ${{u}_{2}}=q.{{u}_{1}}\left( q=\dfrac{{{u}_{2}}}{{{u}_{1}}}\ge 100 \right)$ và đặt $a=\log {{u}_{1}}\ge 0,b=\log q\ge 2$.
Khi đó $\log {{u}_{2}}=\log \left( q{{u}_{1}} \right)=\log {{u}_{1}}+\log q=a+b$.
Kết hợp với giả thiết, ta có: ${{\left( a+b \right)}^{3}}-3{{\left( a+b \right)}^{2}}+4={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{b}^{3}}-3{{b}^{2}}+4+3ab\left( a+b-2 \right)=0$
$\Leftrightarrow \underbrace{{{\left( b-2 \right)}^{2}}\left( b+1 \right)}_{\ge 0}+\underbrace{3ab\left( a+b-2 \right)}_{\ge 0}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{1}}=1 \\
& q=100 \\
\end{aligned} \right..$
Do đó ${{u}_{n}}={{100}^{n-1}}>{{10}^{2020}}\Leftrightarrow 2\left( n-1 \right)>2020\Leftrightarrow n>1011\Rightarrow {{n}_{\min }}=1012$.
Khi đó $\log {{u}_{2}}=\log \left( q{{u}_{1}} \right)=\log {{u}_{1}}+\log q=a+b$.
Kết hợp với giả thiết, ta có: ${{\left( a+b \right)}^{3}}-3{{\left( a+b \right)}^{2}}+4={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{b}^{3}}-3{{b}^{2}}+4+3ab\left( a+b-2 \right)=0$
$\Leftrightarrow \underbrace{{{\left( b-2 \right)}^{2}}\left( b+1 \right)}_{\ge 0}+\underbrace{3ab\left( a+b-2 \right)}_{\ge 0}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{1}}=1 \\
& q=100 \\
\end{aligned} \right..$
Do đó ${{u}_{n}}={{100}^{n-1}}>{{10}^{2020}}\Leftrightarrow 2\left( n-1 \right)>2020\Leftrightarrow n>1011\Rightarrow {{n}_{\min }}=1012$.
Đáp án A.