Cho cấp số nhân $(u_{n})$ thỏa mãn ${{u}_{2}}\ge...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho cấp số nhân

(u_{n})

thỏa mãn

u_{2} \geq 100 u_{1} \geq 1

. Đặt

f (x) = x^{3} - 3 x^{2}

. Biết

f (\log u_{2}) + 4 = f (\log u_{1})

. Số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho

u_{n} > 10^{2020}

là:
A. 1012.
B. 2020.
C. 2019.
D. 1011.

Ta có:

u_{2} = q . u_{1} (q = \frac{u_{2}}{u_{1}} \geq 100)

và đặt

a = \log u_{1} \geq 0, b = \log q \geq 2

.
Khi đó

\log u_{2} = \log (q u_{1}) = \log u_{1} + \log q = a + b

.
Kết hợp với giả thiết, ta có:

{(a + b)}^{3} - 3 {(a + b)}^{2} + 4 = a^{3} - 3 a^{2} \Leftrightarrow b^{3} - 3 b^{2} + 4 + 3 a b (a + b - 2) = 0

\Leftrightarrow \underset{\geq 0}{\underset{⏟}{{(b - 2)}^{2} (b + 1)}} + \underset{\geq 0}{\underset{⏟}{3 a b (a + b - 2)}} = 0 \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = 0 \\ b = 2 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} u_{1} = 1 \\ q = 100 \end{aligned} .

Do đó

u_{n} = 100^{n - 1} > 10^{2020} \Leftrightarrow 2 (n - 1) > 2020 \Leftrightarrow n > 1011 \Rightarrow n_{min} = 1012

.

Đáp án A.

Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn ${{u}_{2}}\ge...