Google
Câu hỏi: Cho cấp số nhân $({{a}_{n}}),n\in {{N}^{*}}$ có ${{a}_{1}}=a$,công bội $q=r$ với $a,r$ là các số nguyên dương. Biết rằng ${{\log }_{8}}{{a}_{1}}+{{\log }_{8}}{{a}_{2}}+...+{{\log }_{8}}{{a}_{11}}+{{\log }_{8}}{{a}_{12}}=2020$. Hỏi có bao nhiêu cặp số $(a,r)$ theo thứ tự thỏa mãn ?
A. $92$.
B. $91$.
C. $45$.
D. $46$.
A. $92$.
B. $91$.
C. $45$.
D. $46$.
Ta có :
${{a}_{1}}=a;{{a}_{2}}=a.r;...;{{a}_{12}}=a.{{r}^{11}}$.
${{\log }_{8}}{{a}_{1}}+{{\log }_{8}}{{a}_{2}}+...+{{\log }_{8}}{{a}_{11}}+{{\log }_{8}}{{a}_{12}}=2020$ $\Leftrightarrow {{\log }_{{{2}^{3}}}}({{a}_{1}}.{{a}_{2}}...{{a}_{12}})=2020$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}({{a}^{12}}.{{r}^{\dfrac{11.12}{2}}})=2{{\log }_{2}}({{a}^{2}}.{{r}^{11}})=2020$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}({{a}^{2}}.{{r}^{11}})=1010\Leftrightarrow {{a}^{2}}.{{r}^{11}}={{2}^{1010}}$ $(*)$
Vì $a,r$ đều là số nguyên dương nên chúng phải là lũy thừa của 2. Đặt $a={{2}^{x}};r={{2}^{y}}$ với $x,y$ là các số tự nhiên.
Ta có :
$(*)\Leftrightarrow {{2}^{2x}}{{.2}^{11y}}={{2}^{2x+11y}}={{2}^{1010}}$ $\Leftrightarrow 2x+11y=1010\Rightarrow 0\le y\le \dfrac{1010}{11}\approx 91$ $(**)$
Mà : $2x;1010$ đều chia hết cho 2 nên $11y$ phải chia hết cho $2\Rightarrow y$ là số chẵn. Kết hợp với $(**)$ ta có số giá trị của $y$ là : $\dfrac{90-0}{2}+1=46$ giá trị
Với mỗi giá trị của y sẽ có một giá trị $x$ thỏa mãn $\Rightarrow $ Chọn D.
${{a}_{1}}=a;{{a}_{2}}=a.r;...;{{a}_{12}}=a.{{r}^{11}}$.
${{\log }_{8}}{{a}_{1}}+{{\log }_{8}}{{a}_{2}}+...+{{\log }_{8}}{{a}_{11}}+{{\log }_{8}}{{a}_{12}}=2020$ $\Leftrightarrow {{\log }_{{{2}^{3}}}}({{a}_{1}}.{{a}_{2}}...{{a}_{12}})=2020$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}({{a}^{12}}.{{r}^{\dfrac{11.12}{2}}})=2{{\log }_{2}}({{a}^{2}}.{{r}^{11}})=2020$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}({{a}^{2}}.{{r}^{11}})=1010\Leftrightarrow {{a}^{2}}.{{r}^{11}}={{2}^{1010}}$ $(*)$
Vì $a,r$ đều là số nguyên dương nên chúng phải là lũy thừa của 2. Đặt $a={{2}^{x}};r={{2}^{y}}$ với $x,y$ là các số tự nhiên.
Ta có :
$(*)\Leftrightarrow {{2}^{2x}}{{.2}^{11y}}={{2}^{2x+11y}}={{2}^{1010}}$ $\Leftrightarrow 2x+11y=1010\Rightarrow 0\le y\le \dfrac{1010}{11}\approx 91$ $(**)$
Mà : $2x;1010$ đều chia hết cho 2 nên $11y$ phải chia hết cho $2\Rightarrow y$ là số chẵn. Kết hợp với $(**)$ ta có số giá trị của $y$ là : $\dfrac{90-0}{2}+1=46$ giá trị
Với mỗi giá trị của y sẽ có một giá trị $x$ thỏa mãn $\Rightarrow $ Chọn D.
Đáp án D.