Câu hỏi: Cho cấp số cộng $\left( {{a}_{n}} \right)$, cấp số nhân $\left( {{b}_{n}} \right)$ thỏa mãn ${{a}_{2}}>{{a}_{1}}\ge 0,\ {{b}_{2}}>{{b}_{1}}\ge 1$ và hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$ sao cho $f\left( {{a}_{2}} \right)+2=f\left( {{a}_{1}} \right)$ và $f\left( {{\log }_{2}}{{b}_{2}} \right)+2=f\left( {{\log }_{2}}{{b}_{1}} \right)$. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho ${{b}_{n}}>2019{{a}_{n}}$.
A. 17.
B. 14.
C. 15.
D. 16.
A. 17.
B. 14.
C. 15.
D. 16.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$ trên $\left[ 0;+\infty \right)$.
Ta có $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\in \left[ 0;+\infty \right) \\
& x=-1\notin \left[ 0;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right..$
Bảng biến thiên hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ 0;+\infty \right)$ như sau:
Vì ${{a}_{2}}>0$ nên $f\left( {{a}_{2}} \right)\ge -2\Rightarrow f\left( {{a}_{1}} \right)=f\left( {{a}_{2}} \right)+2\ge 0\ \ \ \left( 1 \right).$
Giả sử ${{a}_{1}}\ge 1$, vì $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 1;+\infty \right)$ nên $f\left( {{a}_{2}} \right)>f\left( {{a}_{1}} \right)$ suy ra $f\left( {{a}_{2}} \right)+2>f\left( {{a}_{1}} \right)$ vô lý.
Vậy ${{a}_{1}}\in \left[ 0;1 \right)$ do đó $-2\le f\left( {{a}_{1}} \right)\le 0\ \ \left( 2 \right).$
Từ (1), (2) ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( {{a}_{1}} \right)=0 \\
& f\left( {{a}_{2}} \right)=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}_{1}}=0 \\
& {{a}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy số hạng tổng quát của dãy cấp số cộng $\left( {{a}_{n}} \right)$ là: ${{a}_{n}}=n-1.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}={{\log }_{2}}{{b}_{1}} \\
& {{t}_{2}}={{\log }_{2}}{{b}_{2}} \\
\end{aligned} \right. $, suy ra: $ f\left( {{t}_{1}} \right)=f\left( {{t}_{2}} \right)+2 $, vì $ 1\le {{b}_{1}}<{{b}_{2}} $ nên $ 0\le {{t}_{1}}<{{t}_{2}} $, theo lập luận trên ta có: $ \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=0 \\
& {{t}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}{{b}_{1}}=0 \\
& {{\log }_{2}}{{b}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{b}_{1}}=1 \\
& {{b}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy số hạng tổng quát của dãy cấp số nhân $\left( {{b}_{n}} \right)$ là ${{b}_{n}}={{2}^{n-1}}$.
Do đó ${{b}_{n}}>2019{{a}_{n}}\Leftrightarrow {{2}^{n-1}}>2019\left( n-1 \right)\ \ \ \left( * \right)$.
Trong 4 đáp án $n=16$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn (*).
Ta có $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\in \left[ 0;+\infty \right) \\
& x=-1\notin \left[ 0;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right..$
Bảng biến thiên hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ 0;+\infty \right)$ như sau:
Vì ${{a}_{2}}>0$ nên $f\left( {{a}_{2}} \right)\ge -2\Rightarrow f\left( {{a}_{1}} \right)=f\left( {{a}_{2}} \right)+2\ge 0\ \ \ \left( 1 \right).$
Giả sử ${{a}_{1}}\ge 1$, vì $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 1;+\infty \right)$ nên $f\left( {{a}_{2}} \right)>f\left( {{a}_{1}} \right)$ suy ra $f\left( {{a}_{2}} \right)+2>f\left( {{a}_{1}} \right)$ vô lý.
Vậy ${{a}_{1}}\in \left[ 0;1 \right)$ do đó $-2\le f\left( {{a}_{1}} \right)\le 0\ \ \left( 2 \right).$
Từ (1), (2) ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( {{a}_{1}} \right)=0 \\
& f\left( {{a}_{2}} \right)=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}_{1}}=0 \\
& {{a}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy số hạng tổng quát của dãy cấp số cộng $\left( {{a}_{n}} \right)$ là: ${{a}_{n}}=n-1.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}={{\log }_{2}}{{b}_{1}} \\
& {{t}_{2}}={{\log }_{2}}{{b}_{2}} \\
\end{aligned} \right. $, suy ra: $ f\left( {{t}_{1}} \right)=f\left( {{t}_{2}} \right)+2 $, vì $ 1\le {{b}_{1}}<{{b}_{2}} $ nên $ 0\le {{t}_{1}}<{{t}_{2}} $, theo lập luận trên ta có: $ \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=0 \\
& {{t}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}{{b}_{1}}=0 \\
& {{\log }_{2}}{{b}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{b}_{1}}=1 \\
& {{b}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy số hạng tổng quát của dãy cấp số nhân $\left( {{b}_{n}} \right)$ là ${{b}_{n}}={{2}^{n-1}}$.
Do đó ${{b}_{n}}>2019{{a}_{n}}\Leftrightarrow {{2}^{n-1}}>2019\left( n-1 \right)\ \ \ \left( * \right)$.
Trong 4 đáp án $n=16$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn (*).
Đáp án D.