Cho các số thực x, y, z thỏa mãn $\sqrt{{{\log...

The Professor · 15/12/21

Câu hỏi: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn

\sqrt{\log_{2} \frac{x}{4}} + \sqrt{\log_{3} \frac{y}{9}} + \sqrt{\log_{5} \frac{z}{25}} = 3

. Tính giá trị nhỏ nhất của

S = \log_{2001} x . \log_{2018} y . \log_{2019} z .

A.

min S = 27. \log_{2001} 2. \log_{2018} 3. \log_{2019} 5.

B.

min S = 44. \log_{2001} 2. \log_{2018} 3. \log_{2019} 5.

C.

min S = 88. \log_{2001} 2. \log_{2018} 3. \log_{2019} 5.

D.

min S = \frac{289}{8} . \log_{2001} 2. \log_{2018} 3. \log_{2019} 5.

Điều kiện:

x \geq 4; y \geq 9; z \geq 25.

Đặt

{\begin{aligned} a = \sqrt{\log_{2} \frac{x}{4}} \Rightarrow a^{2} = \log_{2} \frac{x}{4} \Rightarrow a^{2} = \log_{2} x - 2 \Rightarrow \log_{2} x = a^{2} + 2 \\ b = \sqrt{\log_{3} \frac{y}{9}} \Rightarrow \log_{3} y = b^{2} + 2 \\ c = \sqrt{\log_{5} \frac{z}{25}} \Rightarrow \log_{5} z = c^{2} + 2 \end{aligned}

Khi đó

a, b, b \geq 0

và

a + b + c = 3

Ta có:

{\begin{aligned} \log_{2001} x = \log_{2001} 2. \log_{2} x = (a^{2} + 2) . \log_{2001} 2 \\ \log_{2018} y = (b^{2} + 2) . \log_{2018} 3 \\ \log_{2019} z = (c^{2} + 2) . \log_{2019} 5 \end{aligned}

Suy ra

S = \underset{P}{\underset{⏟}{(a^{2} + 2) (b^{2} + 2) (c^{2} + 1)}} . \log_{2001} 2. \log_{2018} 3. \log_{2019} 5.

Ta có:

(a^{2} + 2) (b^{2} + 2) = (a^{2} + 1) (1 + b^{2}) + a^{2} + b^{2} + 3 \geq {(a + b)}^{2} + \frac{{(a + b)}^{2}}{2} + 3

(Bunhiacopxki)

\begin{aligned} \Rightarrow (a^{2} + 2) (b^{2} + 2) \geq \frac{3}{2} {(a + b)}^{2} + 3 = 3 [\frac{1}{2} {(a + b)}^{2} + 1] \\ \Rightarrow P = (a^{2} + 2) (b^{2} + 2) (c^{2} + 2) \geq 3 [\frac{1}{2} {(a + b)}^{2} + 1] (c^{2} + 2) \\ = 3 [1 + \frac{{(a + b)}^{2}}{4} + \frac{{(a + b)}^{2}}{4}] (c^{2} + 1 + 1) \geq 3 {(c + \frac{a + b}{2} + \frac{a + b}{2})}^{2} = 3 {(a + b + c)}^{2} = 27 \end{aligned}

P = 27

khi

a = b = c = 1

hay

x = 8, y = 27, z = 125

Suy ra

S_{min} = 27. \log_{2001} 2. \log_{2018} 3. \log_{2019} 5

Đáp án A.