Google
Câu hỏi: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn ${{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)={{\log }_{7}}\left( {{x}^{3}}+2{{y}^{3}} \right)=\log z$. Có bao giá trị nguyên của $z$ để có đúng hai cặp $\left( x,y \right)$ thỏa mãn đẳng thức trên.
A. $2$.
B. $211$.
C. $99$.
D. $4.$
A. $2$.
B. $211$.
C. $99$.
D. $4.$
Ta có ${{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)={{\log }_{7}}\left( {{x}^{3}}+2{{y}^{3}} \right)=\log z=t\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{3}^{t}}\left( 1 \right) \\
& {{x}^{3}}+2{{y}^{3}}={{7}^{t}}\left( 2 \right) \\
& z={{10}^{t}}\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
+ Nếu $y=0$ $\left( 2 \right)\Rightarrow x={{7}^{\dfrac{t}{3}}}$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được ${{2.7}^{\dfrac{2t}{3}}}={{3}^{t}}\Leftrightarrow t={{\log }_{\dfrac{3}{\sqrt[3]{49}}}}2$ do đó $z={{10}^{{{\log }_{\dfrac{3}{\sqrt[3]{49}}}}2}}$.
+ Nếu $y\ne 0$
Từ $\left( 1 \right)\And \left( 2 \right)$ suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{3}}={{27}^{t}} \\
& {{\left( {{x}^{3}}+2{{y}^{3}} \right)}^{2}}={{49}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{{{\left( {{x}^{3}}+2{{y}^{3}} \right)}^{2}}}{{{\left( 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{3}}}={{\left( \dfrac{49}{27} \right)}^{t}}\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( {{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{3}}+2 \right)}^{2}}}{{{\left( 2{{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}+{{1}^{2}} \right)}^{3}}}={{\left( \dfrac{49}{27} \right)}^{t}},\left( * \right)$.
Đặt $\dfrac{x}{y}=u,u\ne -\sqrt[3]{2}$. Xét $f\left( u \right)=\dfrac{{{\left( {{u}^{3}}+2 \right)}^{2}}}{{{\left( 2{{u}^{2}}+1 \right)}^{3}}}\Rightarrow {f}'\left( u \right)=\dfrac{6u\left( {{u}^{3}}+2 \right)\left( u-4 \right)}{{{\left( 2{{u}^{2}}+1 \right)}^{4}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& u=0 \\
& u=-\sqrt[3]{2} \\
& u=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bảng biến thiên
Nhận xét với mỗi giá trị $u$ tương ứng với duy nhất 1 cặp $\left( x,y \right)$ thỏa mãn bài toán do đó
Yêu cầu bài toán tương đương $\left[ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{8}\le {{\left( \dfrac{49}{27} \right)}^{t}}<4 \\
& 0<{{\left( \dfrac{49}{27} \right)}^{t}}<\dfrac{4}{33} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{10}^{{{\log }_{\dfrac{49}{27}}}\left( \dfrac{1}{8} \right)}}\le z<{{10}^{{{\log }_{\dfrac{49}{27}}}4}} \\
& 0<z<{{10}^{{{\log }_{\dfrac{49}{27}}}\left( \dfrac{4}{33} \right)}} \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $z$ là số nguyên nên có $211$ giá trị thỏa mãn.
& 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{3}^{t}}\left( 1 \right) \\
& {{x}^{3}}+2{{y}^{3}}={{7}^{t}}\left( 2 \right) \\
& z={{10}^{t}}\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
+ Nếu $y=0$ $\left( 2 \right)\Rightarrow x={{7}^{\dfrac{t}{3}}}$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được ${{2.7}^{\dfrac{2t}{3}}}={{3}^{t}}\Leftrightarrow t={{\log }_{\dfrac{3}{\sqrt[3]{49}}}}2$ do đó $z={{10}^{{{\log }_{\dfrac{3}{\sqrt[3]{49}}}}2}}$.
+ Nếu $y\ne 0$
Từ $\left( 1 \right)\And \left( 2 \right)$ suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{3}}={{27}^{t}} \\
& {{\left( {{x}^{3}}+2{{y}^{3}} \right)}^{2}}={{49}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{{{\left( {{x}^{3}}+2{{y}^{3}} \right)}^{2}}}{{{\left( 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{3}}}={{\left( \dfrac{49}{27} \right)}^{t}}\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( {{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{3}}+2 \right)}^{2}}}{{{\left( 2{{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}+{{1}^{2}} \right)}^{3}}}={{\left( \dfrac{49}{27} \right)}^{t}},\left( * \right)$.
Đặt $\dfrac{x}{y}=u,u\ne -\sqrt[3]{2}$. Xét $f\left( u \right)=\dfrac{{{\left( {{u}^{3}}+2 \right)}^{2}}}{{{\left( 2{{u}^{2}}+1 \right)}^{3}}}\Rightarrow {f}'\left( u \right)=\dfrac{6u\left( {{u}^{3}}+2 \right)\left( u-4 \right)}{{{\left( 2{{u}^{2}}+1 \right)}^{4}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& u=0 \\
& u=-\sqrt[3]{2} \\
& u=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bảng biến thiên
Nhận xét với mỗi giá trị $u$ tương ứng với duy nhất 1 cặp $\left( x,y \right)$ thỏa mãn bài toán do đó
Yêu cầu bài toán tương đương $\left[ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{8}\le {{\left( \dfrac{49}{27} \right)}^{t}}<4 \\
& 0<{{\left( \dfrac{49}{27} \right)}^{t}}<\dfrac{4}{33} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{10}^{{{\log }_{\dfrac{49}{27}}}\left( \dfrac{1}{8} \right)}}\le z<{{10}^{{{\log }_{\dfrac{49}{27}}}4}} \\
& 0<z<{{10}^{{{\log }_{\dfrac{49}{27}}}\left( \dfrac{4}{33} \right)}} \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $z$ là số nguyên nên có $211$ giá trị thỏa mãn.
Đáp án B.