Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn ${{\log }_{3}}\left(...

Ta có ${\log }_3(2x^2+y^2)={\log }_7(x^3+2y^3)=\log z=t\iff \{\begin{array}{rl}& 2x^2+y^2=3^t\left(1\right)\\ & x^3+2y^3=7^t\left(2\right)\\ & z={10}^t\left(3\right)\end{array}$.
+ Nếu $y=0$ $\left(2\right)\Rightarrow x=7^{{\displaystyle \frac{t}{3}}}$ thay vào $\left(1\right)$ ta được ${2.7}^{{\displaystyle \frac{2t}{3}}}=3^t\iff t={\log }_{{\displaystyle \frac{3}{\sqrt[3]{49}}}}2$ do đó $z={10}^{{\log }_{{\displaystyle \frac{3}{\sqrt[3]{49}}}}2}$.
+ Nếu $y\ne 0$
Từ $\left(1\right)\mathrm{\&}\left(2\right)$ suy ra $\{\begin{array}{rl}& {(2x^2+y^2)}^3={27}^t\\ & {(x^3+2y^3)}^2={49}^t\end{array}\Rightarrow {\displaystyle \frac{{(x^3+2y^3)}^2}{{(2x^2+y^2)}^3}}={\left({\displaystyle \frac{49}{27}}\right)}^t\iff {\displaystyle \frac{{({\left({\displaystyle \frac{x}{y}}\right)}^3+2)}^2}{{(2{\left({\displaystyle \frac{x}{y}}\right)}^2+1^2)}^3}}={\left({\displaystyle \frac{49}{27}}\right)}^t,(\ast )$.
Đặt ${\displaystyle \frac{x}{y}}=u,u\ne -\sqrt[3]{2}$. Xét $f\left(u\right)={\displaystyle \frac{{(u^3+2)}^2}{{(2u^2+1)}^3}}\Rightarrow f^{\prime }\left(u\right)={\displaystyle \frac{6u(u^3+2)(u-4)}{{(2u^2+1)}^4}}=0\iff [\begin{array}{rl}& u=0\\ & u=-\sqrt[3]{2}\\ & u=4\end{array}$.
Ta có bảng biến thiên

Nhận xét với mỗi giá trị $u$ tương ứng với duy nhất 1 cặp $(x,y)$ thỏa mãn bài toán do đó
Yêu cầu bài toán tương đương $[\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{1}{8}}\le {\left({\displaystyle \frac{49}{27}}\right)}^t<4\\ & 0<{\left({\displaystyle \frac{49}{27}}\right)}^t<{\displaystyle \frac{4}{33}}\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& {10}^{{\log }_{{\displaystyle \frac{49}{27}}}\left({\displaystyle \frac{1}{8}}\right)}\le z<{10}^{{\log }_{{\displaystyle \frac{49}{27}}}4}\\ & 0<z<{10}^{{\log }_{{\displaystyle \frac{49}{27}}}\left({\displaystyle \frac{4}{33}}\right)}\end{array}$.
Vì $z$ là số nguyên nên có $211$ giá trị thỏa mãn.