Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn các điều kiện $x,y\ge 0;\ z\ge...

Từ giả thiết ta có:
$\begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\dfrac{x+y+1}{4x+y+3}=2x-y\Leftrightarrow 1+{{\log }_{2}}\dfrac{x+y+1}{4x+y+3}=2x-y+1 \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{2x+2y+2}{4x+y+3}=2x-y+1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{2x+2y+2}{4x+y+3}=\left( 4x+y+3 \right)-\left( 2x+2y+2 \right) \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x+2y+2 \right)+\left( 2x+2y+2 \right)={{\log }_{2}}\left( 4x+y+3 \right)+\left( 4x+y+3 \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln t}+1>0\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
$\Rightarrow f\left( 2x+2y+2 \right)=f\left( 4x+y+3 \right)\Leftrightarrow 2x+2y+2=4x+y+3\Leftrightarrow y=2x+1$.
Thay vào biểu thức $T$ ta được $T=\dfrac{{{\left( x+z+1 \right)}^{2}}}{3x+y}+\dfrac{{{\left( y+2 \right)}^{2}}}{x+2z+3}=\dfrac{{{\left( x+z+1 \right)}^{2}}}{5x+1}+\dfrac{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}{x+2z+3}$.
Áp dụng bất đẳng thức:
$T=\dfrac{{{\left( x+z+1 \right)}^{2}}}{5x+1}+\dfrac{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}{x+2z+3}\ge \dfrac{{{\left( x+z+1+2x+3 \right)}^{2}}}{5x+1+x+2z+3}=\dfrac{{{\left( 3x+z+4 \right)}^{2}}}{6x+2z+4}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{\left( 3x+z+4 \right)}^{2}}}{3x+z+2}$.
Đặt $\begin{aligned}
& t=3x+z+2 \\
& \Rightarrow T\ge \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}{t}=\dfrac{1}{2}\left( t+\dfrac{4}{t}+4 \right)\ge \dfrac{1}{2}.\left( 2.\sqrt{t.\dfrac{4}{t}}+4 \right)=4 \\
\end{aligned}$.
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& y=2x+1 \\
& t=2=3x+z+2 \\
& \dfrac{x+z+1}{5x+1}=\dfrac{2x+3}{x+2z+3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=z=0 \\
& y=1 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T$ là ${{T}_{\min }}=4$.