Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn các điều kiện $x,y\ge 0;\ z\ge...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho các số thực

x, y, z

thỏa mãn các điều kiện

x, y \geq 0; z \geq - 1

và

\log_{2} \frac{x + y + 1}{4 x + y + 3} = 2 x - y

. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T = \frac{{(x + z + 1)}^{2}}{3 x + y} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{x + 2 z + 3}

tương ứng bằng:
A.

4 \sqrt{2}

B. 6
C.

6 \sqrt{3}

D. 4

Từ giả thiết ta có:

\begin{aligned} \log_{2} \frac{x + y + 1}{4 x + y + 3} = 2 x - y \Leftrightarrow 1 + \log_{2} \frac{x + y + 1}{4 x + y + 3} = 2 x - y + 1 \\ \Leftrightarrow \log_{2} \frac{2 x + 2 y + 2}{4 x + y + 3} = 2 x - y + 1 \Leftrightarrow \log_{2} \frac{2 x + 2 y + 2}{4 x + y + 3} = (4 x + y + 3) - (2 x + 2 y + 2) \\ \Leftrightarrow \log_{2} (2 x + 2 y + 2) + (2 x + 2 y + 2) = \log_{2} (4 x + y + 3) + (4 x + y + 3) \end{aligned}

Xét hàm

f (t) = \log_{2} t + t

có

f^{'} (t) = \frac{1}{t \ln t} + 1 > 0 \Rightarrow f (t)

đồng biến trên

(0; + \infty)

.

\Rightarrow f (2 x + 2 y + 2) = f (4 x + y + 3) \Leftrightarrow 2 x + 2 y + 2 = 4 x + y + 3 \Leftrightarrow y = 2 x + 1

.
Thay vào biểu thức

T

ta được

T = \frac{{(x + z + 1)}^{2}}{3 x + y} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{x + 2 z + 3} = \frac{{(x + z + 1)}^{2}}{5 x + 1} + \frac{{(2 x + 3)}^{2}}{x + 2 z + 3}

.
Áp dụng bất đẳng thức:

T = \frac{{(x + z + 1)}^{2}}{5 x + 1} + \frac{{(2 x + 3)}^{2}}{x + 2 z + 3} \geq \frac{{(x + z + 1 + 2 x + 3)}^{2}}{5 x + 1 + x + 2 z + 3} = \frac{{(3 x + z + 4)}^{2}}{6 x + 2 z + 4} = \frac{1}{2} . \frac{{(3 x + z + 4)}^{2}}{3 x + z + 2}

.
Đặt

\begin{aligned} t = 3 x + z + 2 \\ \Rightarrow T \geq \frac{1}{2} . \frac{{(t + 2)}^{2}}{t} = \frac{1}{2} (t + \frac{4}{t} + 4) \geq \frac{1}{2} . (2. \sqrt{t . \frac{4}{t}} + 4) = 4 \end{aligned}

.
Dấu "=" xảy ra khi

{\begin{aligned} y = 2 x + 1 \\ t = 2 = 3 x + z + 2 \\ \frac{x + z + 1}{5 x + 1} = \frac{2 x + 3}{x + 2 z + 3} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x = z = 0 \\ y = 1 \end{aligned}

Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T

là

T_{min} = 4

.

Đáp án D.

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn các điều kiện $x,y\ge 0;\ z\ge...