Google
Câu hỏi: Cho các số thực $x,y$ với $x\ge 0$ thỏa mãn ${{e}^{x+3y}}+{{e}^{xy+1}}+x\left( y+1 \right)+1={{e}^{-xy-1}}+\dfrac{1}{{{e}^{x+3y}}}-3y$. Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=x+2y+1$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $m\in \left( 2;3 \right)$.
B. $m\in \left( -1;0 \right)$.
C. $m\in \left( 0;1 \right)$.
D. $m\in \left( 1;2 \right)$.
Ta có: ${{e}^{x+3y}}+{{e}^{xy+1}}+x\left( y+1 \right)+1={{e}^{-xy-1}}+\dfrac{1}{{{e}^{x+3y}}}-3y$
$\Leftrightarrow {{e}^{x+3y}}-{{e}^{-\left( x+3y \right)}}+\left( x+3y \right)={{e}^{-xy-1}}-{{e}^{-\left( -xy-1 \right)}}+\left( -xy-1 \right)$ $\left( * \right)$
Xét hàm số $f(t)={{e}^{t}}-{{e}^{-t}}+t$, $\forall t\in R$ ta có $f'(t)={{e}^{t}}+{{e}^{-t}}+1>0$
Vậy hàm số $f(t)={{e}^{t}}-{{e}^{-t}}+t$ đồng biến trên $R$
Mà $\left( * \right)\Leftrightarrow f(x+3y)=f(-xy-1)\Leftrightarrow x+3y=-xy-1\Leftrightarrow y=\dfrac{-1-x}{3+x}$ (Vì $x\ge 0$ nên $x+3\ne 0$ ) Vậy $T=x+2y+1=x+2.\dfrac{-1-x}{3+x}+1=\dfrac{{{x}^{2}}+2x+1}{3+x}=f(x)$ với $x\ge 0$
Ta có $f'(x)=\dfrac{{{x}^{2}}+6x+5}{{{\left( 3+x \right)}^{2}}}>0,$ $\forall x\ge 0$. Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $\left[ 0;+\infty \right)$ là $m=f(0)=\dfrac{1}{3}$.
A. $m\in \left( 2;3 \right)$.
B. $m\in \left( -1;0 \right)$.
C. $m\in \left( 0;1 \right)$.
D. $m\in \left( 1;2 \right)$.
Ta có: ${{e}^{x+3y}}+{{e}^{xy+1}}+x\left( y+1 \right)+1={{e}^{-xy-1}}+\dfrac{1}{{{e}^{x+3y}}}-3y$
$\Leftrightarrow {{e}^{x+3y}}-{{e}^{-\left( x+3y \right)}}+\left( x+3y \right)={{e}^{-xy-1}}-{{e}^{-\left( -xy-1 \right)}}+\left( -xy-1 \right)$ $\left( * \right)$
Xét hàm số $f(t)={{e}^{t}}-{{e}^{-t}}+t$, $\forall t\in R$ ta có $f'(t)={{e}^{t}}+{{e}^{-t}}+1>0$
Vậy hàm số $f(t)={{e}^{t}}-{{e}^{-t}}+t$ đồng biến trên $R$
Mà $\left( * \right)\Leftrightarrow f(x+3y)=f(-xy-1)\Leftrightarrow x+3y=-xy-1\Leftrightarrow y=\dfrac{-1-x}{3+x}$ (Vì $x\ge 0$ nên $x+3\ne 0$ ) Vậy $T=x+2y+1=x+2.\dfrac{-1-x}{3+x}+1=\dfrac{{{x}^{2}}+2x+1}{3+x}=f(x)$ với $x\ge 0$
Ta có $f'(x)=\dfrac{{{x}^{2}}+6x+5}{{{\left( 3+x \right)}^{2}}}>0,$ $\forall x\ge 0$. Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $\left[ 0;+\infty \right)$ là $m=f(0)=\dfrac{1}{3}$.
Đáp án C.