Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+y$ là

Theo giả thiết: $x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y(\ast ).$
Điều kiện: $x\ge -1,y\ge -2.$
Ta có: $P=x+y\iff y=P-x,$ thế vào $(\ast )$ ta được:
$3\sqrt{x+1}+3\sqrt{P-x+2}=P\left(1\right)$
Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của $P$ để phương trình $\left(1\right)$ có nghiệm $x\ge -1.$
$\left(1\right)\iff \{\begin{array}{rl}& P\ge 0\\ & 2\sqrt{(x+1)(P-x+2)}={\displaystyle \frac{P^2}{9}}-P-3\end{array}$
Để có nghiệm thì ${\displaystyle \frac{P^2}{9}}-P-3\ge 0\iff [\begin{array}{rl}& P\ge {\displaystyle \frac{9+3\sqrt{21}}{2}}\\ & P\le {\displaystyle \frac{9-3\sqrt{21}}{2}}\end{array}\Rightarrow P\ge {\displaystyle \frac{9+3\sqrt{21}}{2}}.$
Với giá trị nhỏ nhất $P={\displaystyle \frac{9+3\sqrt{21}}{2}}$ thì phương trình $\left(1\right)$ có nghiệm $x=-1,$ suy ra:
$\Rightarrow y=P-x={\displaystyle \frac{9+3\sqrt{21}}{2}}+1={\displaystyle \frac{11+3\sqrt{21}}{2}}.$
Mặt khác, ta lại có: $P=x+y\iff x=P-y,$ thế vào (*) ta được:
$P=3\sqrt{P-y+1}+3\sqrt{y+2}$ $\left(2\right)$
Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của $P$ để phương trình $\left(2\right)$ có nghiệm $y\ge -2.$
$\left(1\right)\iff \{\begin{array}{rl}& P\ge 0\\ & 2\sqrt{(y+2)(P-y+1)}={\displaystyle \frac{P^2}{9}}-P-3\end{array}$
Để có nghiệm thì ${\displaystyle \frac{P^2}{9}}-P-3\ge 0\iff [\begin{array}{rl}& P\ge {\displaystyle \frac{9+3\sqrt{21}}{2}}\\ & P\le {\displaystyle \frac{9-3\sqrt{21}}{2}}\end{array}\Rightarrow P\ge {\displaystyle \frac{9+3\sqrt{21}}{2}}.$
Với giá trị nhỏ nhất $P={\displaystyle \frac{9+3\sqrt{21}}{2}}$ thì phương trình $\left(2\right)$ có nghiệm $y=-2,$ suy ra:
$\Rightarrow x=P-y={\displaystyle \frac{9+3\sqrt{21}}{2}}+2={\displaystyle \frac{13+3\sqrt{21}}{2}}.$
Vậy $P_{min}={\displaystyle \frac{9+3\sqrt{21}}{2}}\iff [\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& x=-1\\ & y={\displaystyle \frac{11+3\sqrt{21}}{2}}\end{array}\\ & \{\begin{array}{rl}& x={\displaystyle \frac{13+3\sqrt{21}}{2}}\\ & y=-2\end{array}\end{array}$