Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+y$ là

Theo giả thiết: $x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y\left( * \right).$
Điều kiện: $x\ge -1,y\ge -2.$
Ta có: $P=x+y\Leftrightarrow y=P-x,$ thế vào $\left( * \right)$ ta được:
$3\sqrt{x+1}+3\sqrt{P-x+2}=P\text{ }\left( 1 \right)$
Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của $P$ để phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $x\ge -1.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& P\ge 0 \\
& 2\sqrt{\left( x+1 \right)\left( P-x+2 \right)}=\dfrac{{{P}^{2}}}{9}-P-3 \\
\end{aligned} \right.$
Để có nghiệm thì $\dfrac{{{P}^{2}}}{9}-P-3\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& P\ge \dfrac{9+3\sqrt{21}}{2} \\
& P\le \dfrac{9-3\sqrt{21}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P\ge \dfrac{9+3\sqrt{21}}{2}.$
Với giá trị nhỏ nhất $P=\dfrac{9+3\sqrt{21}}{2}$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $x=-1,$ suy ra:
$\Rightarrow y=P-x=\dfrac{9+3\sqrt{21}}{2}+1=\dfrac{11+3\sqrt{21}}{2}.$
Mặt khác, ta lại có: $P=x+y\Leftrightarrow x=P-y,$ thế vào (*) ta được:
$P=3\sqrt{P-y+1}+3\sqrt{y+2}$ $\left( 2 \right)$
Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của $P$ để phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm $y\ge -2.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& P\ge 0 \\
& 2\sqrt{\left( y+2 \right)\left( P-y+1 \right)}=\dfrac{{{P}^{2}}}{9}-P-3 \\
\end{aligned} \right.$
Để có nghiệm thì $\dfrac{{{P}^{2}}}{9}-P-3\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& P\ge \dfrac{9+3\sqrt{21}}{2} \\
& P\le \dfrac{9-3\sqrt{21}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P\ge \dfrac{9+3\sqrt{21}}{2}.$
Với giá trị nhỏ nhất $P=\dfrac{9+3\sqrt{21}}{2}$ thì phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm $y=-2,$ suy ra:
$\Rightarrow x=P-y=\dfrac{9+3\sqrt{21}}{2}+2=\dfrac{13+3\sqrt{21}}{2}.$
Vậy ${{P}_{\min }}=\dfrac{9+3\sqrt{21}}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=\dfrac{11+3\sqrt{21}}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{13+3\sqrt{21}}{2} \\
& y=-2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$