Google
Câu hỏi: Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn ${{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=16$. Khi $(x;y)=({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ thì $P=\dfrac{2020(x+y)+2xy+4061}{x+y+2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất của $S={{x}_{0}}+2{{y}_{0}}$ bằng
A. $\sqrt{31}$.
B. $9$.
C. $\dfrac{9+\sqrt{31}}{2}$.
D. $\dfrac{9-\sqrt{31}}{2}$.
A. $\sqrt{31}$.
B. $9$.
C. $\dfrac{9+\sqrt{31}}{2}$.
D. $\dfrac{9-\sqrt{31}}{2}$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& a=x-2 \\
& b=y-2 \\
\end{aligned} \right. $ thì $ \left\{ \begin{aligned}
& x=a+2 \\
& y=b+2 \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=16 $, do đó $ 2ab={{(a+b)}^{2}}-16$.
Ta có: $P=\dfrac{2020(x+y)+2xy+4061}{x+y+2}=\dfrac{2020\left( (a+2)+(b+2) \right)+2(a+2)(b+2)+4061}{(a+2)+(b+2)+2}$
$=\dfrac{2024(a+b)+2ab+12149}{a+b+6}=\dfrac{2024(a+b)+{{(a+b)}^{2}}+12133}{a+b+6}$.
Đặt $t=a+b$ thì có $\left| t \right|=\left| a+b \right|\le \sqrt{2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}=4\sqrt{2}$.
Xét hàm số $f(t)=\dfrac{2024t+{{t}^{2}}+12133}{t+6}$, với $t\in [-4\sqrt{2};4\sqrt{2}]$.
Ta có: ${f}'(t)=\dfrac{{{t}^{2}}+12t+11}{{{(t+6)}^{2}}}$ và do đó ${f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1\in [-4\sqrt{2};4\sqrt{2}] \\
& t=-11\notin [-4\sqrt{2};4\sqrt{2}] \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $f(-4\sqrt{2})=\dfrac{12165-8096\sqrt{2}}{6-4\sqrt{2}}$, $f(-1)=2022$, $f(4\sqrt{2})=\dfrac{12165+8096\sqrt{2}}{6+4\sqrt{2}}$.
Do $f$ là hàm số liên tục trên $[-4\sqrt{2};4\sqrt{2}]$ nên ta thấy giá trị nhỏ nhất của $P$ trên $[-4\sqrt{2};4\sqrt{2}]$ là $2022$. Đẳng thức xảy ra khi $t=-1$.
Khi đó: $\left\{ \begin{aligned}
& {{a}_{0}}+{{b}_{0}}=-1 \\
& {{a}_{0}}{{b}_{0}}=-\dfrac{15}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ $ {{a}_{0}},{{b}_{0}} $ là nghiệm của phương trình $ {{X}^{2}}+X-\dfrac{15}{2}=0$.
Suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& {{a}_{0}}=\dfrac{-1+\sqrt{31}}{2} \\
& {{b}_{0}}=\dfrac{-1-\sqrt{31}}{2} \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{a}_{0}}=\dfrac{-1-\sqrt{31}}{2} \\
& {{b}_{0}}=\dfrac{-1+\sqrt{31}}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó: $S={{x}_{0}}+2{{y}_{0}}={{a}_{0}}+2{{b}_{0}}+6$ hoặc bằng $\dfrac{9-\sqrt{31}}{2}$ hoặc bằng $\dfrac{9+\sqrt{31}}{2}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $S$ bằng $\dfrac{9+\sqrt{31}}{2}$ khi $({{a}_{0}};{{b}_{0}})=\left( \dfrac{-1-\sqrt{31}}{2};\dfrac{-1+\sqrt{31}}{2} \right)$.
& a=x-2 \\
& b=y-2 \\
\end{aligned} \right. $ thì $ \left\{ \begin{aligned}
& x=a+2 \\
& y=b+2 \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=16 $, do đó $ 2ab={{(a+b)}^{2}}-16$.
Ta có: $P=\dfrac{2020(x+y)+2xy+4061}{x+y+2}=\dfrac{2020\left( (a+2)+(b+2) \right)+2(a+2)(b+2)+4061}{(a+2)+(b+2)+2}$
$=\dfrac{2024(a+b)+2ab+12149}{a+b+6}=\dfrac{2024(a+b)+{{(a+b)}^{2}}+12133}{a+b+6}$.
Đặt $t=a+b$ thì có $\left| t \right|=\left| a+b \right|\le \sqrt{2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}=4\sqrt{2}$.
Xét hàm số $f(t)=\dfrac{2024t+{{t}^{2}}+12133}{t+6}$, với $t\in [-4\sqrt{2};4\sqrt{2}]$.
Ta có: ${f}'(t)=\dfrac{{{t}^{2}}+12t+11}{{{(t+6)}^{2}}}$ và do đó ${f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1\in [-4\sqrt{2};4\sqrt{2}] \\
& t=-11\notin [-4\sqrt{2};4\sqrt{2}] \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $f(-4\sqrt{2})=\dfrac{12165-8096\sqrt{2}}{6-4\sqrt{2}}$, $f(-1)=2022$, $f(4\sqrt{2})=\dfrac{12165+8096\sqrt{2}}{6+4\sqrt{2}}$.
Do $f$ là hàm số liên tục trên $[-4\sqrt{2};4\sqrt{2}]$ nên ta thấy giá trị nhỏ nhất của $P$ trên $[-4\sqrt{2};4\sqrt{2}]$ là $2022$. Đẳng thức xảy ra khi $t=-1$.
Khi đó: $\left\{ \begin{aligned}
& {{a}_{0}}+{{b}_{0}}=-1 \\
& {{a}_{0}}{{b}_{0}}=-\dfrac{15}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ $ {{a}_{0}},{{b}_{0}} $ là nghiệm của phương trình $ {{X}^{2}}+X-\dfrac{15}{2}=0$.
Suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& {{a}_{0}}=\dfrac{-1+\sqrt{31}}{2} \\
& {{b}_{0}}=\dfrac{-1-\sqrt{31}}{2} \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{a}_{0}}=\dfrac{-1-\sqrt{31}}{2} \\
& {{b}_{0}}=\dfrac{-1+\sqrt{31}}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó: $S={{x}_{0}}+2{{y}_{0}}={{a}_{0}}+2{{b}_{0}}+6$ hoặc bằng $\dfrac{9-\sqrt{31}}{2}$ hoặc bằng $\dfrac{9+\sqrt{31}}{2}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $S$ bằng $\dfrac{9+\sqrt{31}}{2}$ khi $({{a}_{0}};{{b}_{0}})=\left( \dfrac{-1-\sqrt{31}}{2};\dfrac{-1+\sqrt{31}}{2} \right)$.
Đáp án C.