Google
Câu hỏi: Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn ${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 2x-4y+3 \right)\ge 1.$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=3x+4y$ có dạng $5\sqrt{M}+m$ với $M,m\in \mathbb{Z}.$ Tính tổng $M+m.$
A. $M+m=4$
B. $M+m=1$
C. $M+m=11$
D. $M+m=-2$
A. $M+m=4$
B. $M+m=1$
C. $M+m=11$
D. $M+m=-2$
Cách giải:
Ta có:
${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 2x-4y+3 \right)\ge 1$
$\Leftrightarrow 2x-4y+3\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2$
$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}\le 6$
Là hình tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 1;-2 \right),$ bán kính $R=\sqrt{6}$.
Ta lại có: $P=3x+4y\Rightarrow 3x+4y-P=0$ là phương trình đường thẳng $d.$
Để tồn tại cặp số $x,y$ sao cho $P$ đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng $d$ và đường tròn $\left( C \right)$ phải có điểm chung. Khi đó:
$d\left( I;\left( d \right) \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 3-8-P \right|}{5}\le \sqrt{6}$
$\Leftrightarrow \left| P+5 \right|\le 5\sqrt{6}\Leftrightarrow -5\sqrt{6}\le P+5\le 5\sqrt{6}$
$\Leftrightarrow -5\sqrt{6}-5\le P\le 5\sqrt{6}-5$
$\Rightarrow {{P}_{max}}=5\sqrt{6}-5\Rightarrow M=6;m=-5.$
Vậy $M+m=6+\left( -5 \right)=1.$
Ta có:
${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 2x-4y+3 \right)\ge 1$
$\Leftrightarrow 2x-4y+3\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2$
$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}\le 6$
Là hình tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 1;-2 \right),$ bán kính $R=\sqrt{6}$.
Ta lại có: $P=3x+4y\Rightarrow 3x+4y-P=0$ là phương trình đường thẳng $d.$
Để tồn tại cặp số $x,y$ sao cho $P$ đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng $d$ và đường tròn $\left( C \right)$ phải có điểm chung. Khi đó:
$d\left( I;\left( d \right) \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 3-8-P \right|}{5}\le \sqrt{6}$
$\Leftrightarrow \left| P+5 \right|\le 5\sqrt{6}\Leftrightarrow -5\sqrt{6}\le P+5\le 5\sqrt{6}$
$\Leftrightarrow -5\sqrt{6}-5\le P\le 5\sqrt{6}-5$
$\Rightarrow {{P}_{max}}=5\sqrt{6}-5\Rightarrow M=6;m=-5.$
Vậy $M+m=6+\left( -5 \right)=1.$
Đáp án B.