T

Cho các số thực $x,y$ thoả mãn ${{\log }_{2}}\left(...

Câu hỏi: Cho các số thực $x,y$ thoả mãn ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{2-x}{2+x} \right)-{{\log }_{2}}y=2x+2y+xy-5$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy$ bằng:
A. $33-22\sqrt{2}.$
B. $36-24\sqrt{2}.$
C. $30-20\sqrt{2}.$
D. $24-16\sqrt{2}.$

${{\log }_{2}}\left( \dfrac{2-x}{2+x} \right)-{{\log }_{2}}y=2x+2y+xy-5$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2-x \right)-{{\log }_{2}}\left( 2+x \right)-{{\log }_{2}}y=2x+2y+xy-5$.
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2-x \right)-{{\log }_{2}}\left( 2y+xy \right)=2x+2y+xy-5$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2-x \right)+1+4-2x=2y+xy+{{\log }_{2}}\left( 2y+xy \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ 2\left( 2-x \right) \right]+4-2x=2y+xy+{{\log }_{2}}\left( 2y+xy \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 4-2x \right)+4-2x={{\log }_{2}}\left( 2y+xy \right)+2y+xy$ (*)
Đặt $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ $\Rightarrow f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0$ $\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Phương trình (*) trở thành $f\left( 4-2x \right)=f\left( 2y+xy \right)\Leftrightarrow 4-2x=2y+xy\Leftrightarrow 2\left( x+y \right)+xy-4=0$
Đặt $u=x+y$, $v=xy$ $\Rightarrow 2u+v-4=0$, ĐK: ${{u}^{2}}\ge 4v$ $\Leftrightarrow {{u}^{2}}\ge 4\left( 4-2u \right)$ $\Leftrightarrow {{u}^{2}}+8u-16\ge 0$ $\Leftrightarrow u\le -4-4\sqrt{2}\vee u\ge -4+4\sqrt{2}$
$P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy={{u}^{2}}-2v+v={{u}^{2}}+2u-4={{\left( u+1 \right)}^{2}}-5$
+ Nếu $u\le -4-4\sqrt{2}\Rightarrow u+1\le -\left( 3+4\sqrt{2} \right)\Rightarrow {{\left( u+1 \right)}^{2}}\ge {{\left( 3+4\sqrt{2} \right)}^{2}}$
+ Nếu $u\ge -4+4\sqrt{2}\Rightarrow u+1\ge -3+4\sqrt{2}\Rightarrow {{\left( u+1 \right)}^{2}}\ge {{\left( -3+4\sqrt{2} \right)}^{2}}$
$\Rightarrow P={{\left( u+1 \right)}^{2}}-5\ge {{\left( -3+4\sqrt{2} \right)}^{2}}-5=36-24\sqrt{2}$
Vậy $\min P=36-24\sqrt{2}$.
Đáp án B.
 

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Back
Top