Cho các số thực $x, y$ thoả mãn ${{\log }_{2}}\left(...

The Knowledge · 22/3/22

Câu hỏi: Cho các số thực

x, y

thoả mãn

\log_{2} (\frac{2 - x}{2 + x}) - \log_{2} y = 2 x + 2 y + x y - 5

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x^{2} + y^{2} + x y

bằng:
A.

33 - 22 \sqrt{2} .

B.

36 - 24 \sqrt{2} .

C.

30 - 20 \sqrt{2} .

D.

24 - 16 \sqrt{2} .

\log_{2} (\frac{2 - x}{2 + x}) - \log_{2} y = 2 x + 2 y + x y - 5

\Leftrightarrow \log_{2} (2 - x) - \log_{2} (2 + x) - \log_{2} y = 2 x + 2 y + x y - 5

.

\Leftrightarrow \log_{2} (2 - x) - \log_{2} (2 y + x y) = 2 x + 2 y + x y - 5

\Leftrightarrow \log_{2} (2 - x) + 1 + 4 - 2 x = 2 y + x y + \log_{2} (2 y + x y)

\Leftrightarrow \log_{2} [2 (2 - x)] + 4 - 2 x = 2 y + x y + \log_{2} (2 y + x y)

\Leftrightarrow \log_{2} (4 - 2 x) + 4 - 2 x = \log_{2} (2 y + x y) + 2 y + x y

(*)
Đặt

f (t) = \log_{2} t + t

\Rightarrow f^{'} (t) = \frac{1}{t \ln 2} + 1 > 0

\Rightarrow f (t)

đồng biến trên

(0; + \infty)

Phương trình (*) trở thành

f (4 - 2 x) = f (2 y + x y) \Leftrightarrow 4 - 2 x = 2 y + x y \Leftrightarrow 2 (x + y) + x y - 4 = 0

Đặt

u = x + y

,

v = x y

\Rightarrow 2 u + v - 4 = 0

, ĐK:

u^{2} \geq 4 v

\Leftrightarrow u^{2} \geq 4 (4 - 2 u)

\Leftrightarrow u^{2} + 8 u - 16 \geq 0

\Leftrightarrow u \leq - 4 - 4 \sqrt{2} \lor u \geq - 4 + 4 \sqrt{2}

P = x^{2} + y^{2} + x y = u^{2} - 2 v + v = u^{2} + 2 u - 4 = {(u + 1)}^{2} - 5

+ Nếu

u \leq - 4 - 4 \sqrt{2} \Rightarrow u + 1 \leq - (3 + 4 \sqrt{2}) \Rightarrow {(u + 1)}^{2} \geq {(3 + 4 \sqrt{2})}^{2}

+ Nếu

u \geq - 4 + 4 \sqrt{2} \Rightarrow u + 1 \geq - 3 + 4 \sqrt{2} \Rightarrow {(u + 1)}^{2} \geq {(- 3 + 4 \sqrt{2})}^{2}

\Rightarrow P = {(u + 1)}^{2} - 5 \geq {(- 3 + 4 \sqrt{2})}^{2} - 5 = 36 - 24 \sqrt{2}

Vậy

min P = 36 - 24 \sqrt{2}

.

Đáp án B.

Cho các số thực x,y thoả mãn ${{\log }_{2}}\left(...